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 point d'intersection des deux droites qui représentent une conique fait 

 partie de la courbe enveloppe cherchée; et conséquemment cette courbe, 

 abstraction faite des (av — p.) points semblables, est delà classe 



(p. -+- 3y) — (2v — a) = 2/JH- V. 

 Donc, etc. 



» XLI a. On conclut du théorème, que : 



» Si (Cun point fixe I on mène des droites aii.x pôles d'une droite D, dans les 

 coniques d'un système [ii, v), les tangentes aux points ou ces droites rencontrent 

 les coniques, enveloppent une courbe de la classe (2 p. + v ). 



» Démonstration directe. La courbe a une tangente multiple d'ordre v 

 coïncidante avec D, parce que v coniques ont leurs pôles sur D, et sont tan- 

 gentes à cette droite en ces points. Il suffit de prouver que par un point 

 quelconque ii de cette tangente multiple D passent 2/xautres tangentes. Or 

 les polaires de «enveloppent une courbe delà classe f;. (théor. XII); donc 

 a polaires passent par I. Ces polaires passent par les pôles de D; et les tan- 

 gentes aux points où elles rencontrent les coniques passent par x. Donc, etc. 



» Corollaire. Les tangentes aux extrémités des diamètres qui passent par 

 un point fixe, enveloppent une courbe de la classe [ip.-h v), qui a une tamjente 

 nmlliple d'ordre -J, à l'infini. 



» XLII. Lorsque des diamètres des coniques d'un sjstème{p., v) passent par 

 un point fixe, tes diamètres qui leur sont inclinés sous un angle de grandeur 

 donnée, compté dans un sens de rotation déterminé, enveloppent ime courbe de 

 ta classe 2v, qui a trois tangentes multiples d'ordre v, dont deux imaginait^s 

 sont les asymptotes d'un cercle, et ta troisième est située à l'infini. 



)» Plus généralement : Si par le pôle p d'une droite D, dans chaque conique 

 d'un système {[j., v), on mène deux droites pa, pot.' dont la première passe par 

 un point fixe!*, et qui divisent un segment ef c/e D dans un rapport anliarmonique 

 donné, les droites pa.' enveloppent une courbe de la classe 2V, qui a trois tan- 

 gentes multiples d'ordre V, savoir Pe, Pf ei D. 



» On doit avoir 



a.c 'j! c . 



» Prouvons qu'il passe par un point I quelconque av droites /j a'. Une 

 droite menée arbitrairement par I coupe D en un point a,. Cette droite 

 renferme V pôles de D (C i?., t. LVIII, théor. 1). Les droites menées de 

 ces pôles au point P rencontrent D en v points a, auxquels correspondent 

 V points «' déterminés par l'équation ci-dessus. Nous dirons qu'au point a, 



