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correspondent CCS V points u! . A un point a' pris arbitrairemcnl sur D cci- 

 respond un point a déterminé par l'équation. La droite Va renferme v pôles. 

 Les droites menées de ces pôles au point I coupent D en v points a,. De 

 sorte qu'à un point a' correspondent y points a,. Il existe donc (lemme I) 

 2v points a, coïncidant avec des points correspondants a'. Donc 2v droites 

 la' satisfont à la question. Donc la courbe est de la classe iv. 



» La droite Pe renferme v pôles; pour chacun de ces pôles la droite/) a' 

 passe par le point e, de même que pu.. Donc la droite Pe est une tangente 

 multiple d'ordre v delà courbe. De même la droite Vj. 



» Enfin V coniques touchent la droite D : pour chacune d'elles le pôle de 

 D est le point de contact, et la droite /)«' coïncide avec D. Donc cette droite 

 est aussi une tangente multiple d'ordre V. c. Q. F. D. 



» Observation. Le lieu des centres des coniques étant une courbe d'ordre v 

 (théor. I), l'énoncé relatif aux diamètres rectangulaires n'est autre qu'un 

 théorème déjà connu; et l'on peut ajouter que la courbe de la classe av est 

 de V ordre v [v + i). (Voir Comptes rendus, t. LI, p. 8Gi, année 1860) (*). 



» ConOLLAlRE. Il existe, dans un système {(x, v), iv coniques dans lesquelles 

 les deux diamètres menés par deux points donnés P, V,font entre eux un angle de 

 grandeur donnée, compté dans un sens de rotation déterminé. 



» XLTIL Si dans ctinque conique d'un système {p., v), on mène deux dia- 

 mètres conjugués faisant un angle de grandeur donnée, dans un sens de rotation 

 déterminé : ces diamètres enveloppent deux courbes de la classe (f/, + v), qui oui 

 chacune une tangente multiple d'ordre v à l'infini. 



» Plus généralement : Si dans chaque conique d'un système [p., v) on mène, 

 par le pôle p d'une droite D, deux droites conjuguées p«, pa', qui divisent wi 

 segment e( de D, dans un rapport anliarmonique donné, c" est-à-dire de manière 

 que l'on ait la relation 



xe a' e . 



les droites pa et les droites pa' enveloppent deux courbes delà classe (p. -h v), 

 qui ont chacune une tangente multiple d'ordre v, coïncidante avec la droite D. 



» Prouvons que par un point L >' passe {p.-h v) droites /)a. 



» Une droite la, renferme v pôles; les conjuguées de cette droite dans 



les V coniques coupent D en v points a', auxquels correspondent v points a. 



Il faudrait que a coïncidât avec a,. Un point a détermine un point a' par 



l'équation; il existe p, coniques par rapport auxquelles les deux droites pa, 



. I- — — - — -^^— _^_^^^^__^.^__— -^__-^^.^— ^^— ^^_^^— ^^^^— ^^_. 



(*) On voit qu'il faut dans l'énoncé du théorème XXIII (C. R., p. Son.) ni, au lieu dr 

 (fi-t-v). 



a.. 



