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/?«', menées des pôles p de D aux deux points a, a', sont conjuguées (C. R., 

 t. LVIII, p.3o3, théor. XXVIII). Lesdioites inenées du point I aux pôles /j, 

 relatifs à ces coniques, coupent D en p. points a,. Donc, il existe (fi-hv) 

 points a, qui coïncident avec des points correspondants a (lemme I). 

 Donc, etc. 



» La courbe a une tangente multiple d'ordre v coïncidante avec D. Car 

 V coniques sont tangentes à D ; leurs pôles p sont les points de contact : qu'on 

 les prenne pour les points a', les droites pa seront les droites a' a, coïnci- 

 cidantes avec D. 



)) Observalion. On voit immédiatement qtie, par un point a de D 

 passent p. droites/)». Car a détermine a' par l'équation de condition; et il 

 existe fx coniques par rapport auxquelles les deux points a et a' sont con- 

 jugués (théor. XXVIII). Cette seule remarque suffit pour prouver que la 

 courbe enveloppe est de la classe [p. + v). 



M Corollaire I. Si les deux points e, f sont à l'infini siu' un cercle, on 

 en conclut l'énoncé primitif, relatif aux diamètres des coniques. El si l'angle 

 de grandeur donnée est droite on dira que : 



» Les axes des coniques d'un système {jx, v) enveloppent une courbe de la 

 classe (fjt. + v), qui a une tangente multiple d'ordre v à l'infini. 



)) Par conséquent : Il existe dans un système [p., v), p coniques dont les 

 axes sont parallèles èi deux droites rectangulaires données. 



» COROLLAiRi: II. Si les deux points f,^ sont réels, à l'infini, sur deux 

 droites rectangulaires, le théorème s'exprime ainsi : 



» Si l'on prend dans chaque conique d'un système (p., v) deux droites con- 

 juguées D, D', dont l'angle (D, D'), compté dans un sens déterminé, ait sa bis- 

 sectrice parallèle à ime droite fixe : ces diamètres enveloppent deux courbes de 

 la classe (p., v), (pii ont chacune une tangente multiple d'ordre v, « l'infini. 



» XLIV. Si dans chaque conique d'un système (p., v,), on mène deux dia- 

 mètres conjugués, faisant un angle de grandeur donnée, dans im sens de rotation 

 déterminé, les tangentes aux extrémités de ces diamètres enveloppent deux courbes 

 de la classe (2p. -I- v), qui ont chacune une tangente multiple d'ordre v à l'infini. 



)) Plus généralement : Si par les pôles p d'une droite D, relatifs aux coni- 

 ques d'un système (p., v), on mène des couples de droites conjuguées pa, })«', qui 

 divisent tin segment ef de D, dans u>i rapport anharmonique donné : les tangentes 

 aux points où ces droites rencontrent les coniques, enveloppent deux courbes de 

 la classe (ap -+- v), qui ont chacune une tangente multiple d'ordre v coincidantc 

 avec D. 



» a, a' sont les points où les deux droites pa, pc/.' , relatives à une co' 



