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» On doit avoir 



a.c a! e . 



)' Prouvons que sur une droite L il se trouve (apt. + 3v) points de ren- 

 contre des coniques et des droites pa.. 



B Qu'on prenne sur D un pointa' arbitrairement, auquel correspond un 

 point a déterminé par l'équation, et que par a on mène des tangentes aux 

 coniques; (p.4-v) points de contact sont situes sur L (C. /»., p. 3oo, 

 théor. V), et les droites menées de ces points aux pôles des (p. -f- v) coniques 

 rencontrent D en (ju, 4- v) points a". Par un point a" pris arbitrairement 

 passent (,u, + iv) droites qui joignent les pùles de {fj. -+- av) coniques à 

 l'un des points où chaqueconique coupeL(théor. XXXVIII). Les(fJL + av) 

 tangentes en ces points coupent D en (p. + 2v) points «a auxquels corres- 

 pondent (|u.-f-2v) points a.' déterminés par l'équation. Donc il existe 

 (2fJ!.-+-3y) points a' qui coïncident avec des points correspondants à a" 

 (lemme I). c. Q. F. D. 



» Il est clair que ce qui est démontré des droites pa s'applique aux 

 droites pa'; c'est-à-dire que ces droites rencontrent les coniques en des 

 points qui sont aussi sur une courbe d'ordre (ajtx -f-3v). 



» /autrement. Les tangentes aux points où les droites pa rencontrent les 

 coniques respectives enveloppent une courbe de la classe (ajx + v) 

 (théor. XLIV). Ainsi (ap. -f-v) tangentes passent par iin point jc de L. Les 

 droites ysa coupent L en (a/ji -h v) points u. Par un point n quelconque de L 

 passent (fji. -\- v) droites px satisfaisant à la question (théor. XLIIl). Les 

 tangentes aux points où ces droites rencontrent les coniques auxquelles 

 elles appartiennent, coupent L en (afiH-v) points œ. Donc, 4p- + 3v 

 points X coïncident avec des points correspondants n. Mais, de ce nombre 

 de points, il faut en retrancher 2p. qui ne satisfont pas à la question. En 

 effet, par le point e passent p. coniques. Pour chacune d'elles la tangente 

 au point e coïncide avec la droite pxet donne des points x et u coïncidants. 

 De même pour les p coniques qui passent par le point/! Il reste (ap, -h 3v) 

 points. Ce qui démontre le théorème. 



1) Autrement. Par un point x d'une droite L passent p. coniques; pour 

 chacune d'elles il existe deux systèmes de droites conjuguées pa, pu' qui 

 divisent e/dans le rapport anharmonique doiuié; il y a donc 2p. droites pa, 

 qui rencontrent L en ap. points u. Par un point u passent (p. + v) droites 

 /; a (théor. XLIII), appartenant à (p. + v) coniques, qui coupent L en 

 2(p-f- v) points X. Il existe donc (lemme 1) (/Jp. + iv) points o" qui coïn- 



