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coniques qui satisfont à cinq conditions. De sorte que la solution de toutes 

 les questions qu'on peut se proposer sur les coniques, non-seulement se 

 fait par une méthode générale et toujours la même, comme on l'a vu, mais 

 de plus se trouve renfermée dans deux formules uniques. 



§ jrr Théorèmes. 



■ » LXXV. Dans un système de coniques (fJt., v), si l'on prend sur chaque 

 conique un point tel, que la tangente en ce point et l'axe harmonique du point, 

 relatif à une courbe donnée U d'ordre m, douée d'un point multiple R d'ordre r, 

 se coupent sur une droite fixe D : le lieu des points ainsi déterminés est une 

 courbe de l'ordre (mp. + v), qui a en R un point nuilliple de l'ordre [j.[r — i). 



» Prouvons que la courbe cherchée a (m/j. + v) points sur une droite 

 quelconque L. Par un point x de D passent {p. -+- v) tangentes des coniques, 

 dont les points de contact sont sur L (théor. XVI). Les axes harmoniques 

 des {p.-hv) points de contact, relatifs à U, rencontrent D en ([ji -4- v) points u. 

 Par un point u quelconque de D passent les axes harmoniques de (m — i) 

 points de L (*) ; les tangentes menées en ces points aux p. {ni — i) coniques 

 qui y passent rencontrent D en p. [m — i) points jc. Il existe donc (d'après le 

 lemme I ; C. R., p. 1 1 yS), p. + v + p. (m — i) = inp. + v points x qui coïn- 

 cident avec des points correspondants u : et, par suile^il existe suvh{i7ip-^'j) 

 points appartenant à la courbe cherchée, qui est donc de l'ordre [mp. -f- v). 



» Si la droite L passe par le point multiple R de U, la polaire d'un pointu 

 de D relative àU a elle-même un point multiple d'ordre (r— i) en R, de 

 sorte qu'elle ne rencontre L qu'en [m — ï) — {r — i) = [m — r) autres 

 points. Les axes harmoniques de ces points concourent en u, et les tan- 

 gentes des p{ni — /■) coniques qui passent par ces points coupent D en 

 ij. (m — !■) points .r, qui correspondent à u. 11 s'ensuit que 



[j. + V + p. {m — r) = p. [m — r + i) + v 



points X coïncident chacun avec un point correspondant u. De sorte 

 qu'il n'existe sur L que [[-'.('« — r + i) -{- v] points appartenant à la courbe 

 cherchée, au lieu de {m[j. + v) : différence, p-ir — i). Ce qui prouve que 

 la courbe a en R un point multiple d'ordre (r — i). 



1) Ainsi le théorème est démontré. 



» Cas u!i R est un point de rebroussemenl. — Alors la polaire d'un point 

 quelconque u passe par ce point et y est tangente à U. Il en résulte 



(*) Ce sont les (m — i) points d'intersection de L et delà courbe polaire du point u, rela- 

 tive à U; courbe d'ordre {m — i). 



