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d'abord, comme il vient d'être démontré, que la courbe d'ordre (/np. + v) 

 passe par R; puis, en supposant que la droite arbitraire L, menée par R, 

 soit tangente à U, on reconnaît que la courbe est elle-même tangente à U, 

 et par conséquent a avec U trois points communs en R. 



» Corollaire. La courbe coupe U en m [m[x + v) — rjx (r — i) poitits, 

 en chacun desquels la tangente d'une conique coïncide avec la tangente 

 de U, excepté toutefois pour les m points de U situés sur D, pour lesquels 

 les tangentes des p. coniques qui y passent coupent les tangentes deU sui- 

 la droite D, sans que ces tangentes coïncident. 



» Ainsi le nombre des points de contact des coniques et de Uest 



m(7nju. -h v) — [xr{r ~ i) — (xin ^= [j.[in{m — i) — r{r — i)] + m-j. 



» Soit n la classe de U,„. On a 



n ^= in[in — i ) — /'(/' — i ) ; 



et le nombre des points de contact devient [ny. -h m-j). Donc : 



» Dans un système de coniques {iJ.,v), il existe (n|m,+ mv) coniques tan- 

 gentes à une courbe U d'ordre m et de la classe n. 



» Observations. I. Cet énoncé s'applique au cas où la courbe d'ordre m 

 est l'ensemble des m droites. Il suffit d'y faire n = o, c'est-à-dire de regar- 

 der l'ensemble des m droites comme une courbe de la classe zéro. Car le 

 nombre des coniques du système (p., v), qui touchent, chacune, une quel- 

 conquedes m droites, est bien my, comme l'indique l'expression («p. -H mv), 

 quand ?i = o. Le théorème s'applique pareillement au cas où l'on considère 

 comme une courbe de la classe n l'ensemble de n points donnés. On fait 

 alors m = o, ce qui signifie.que la courbe est considérée comme étant 

 d'ordre zéro.' 



» II. Le nombre {n[j. + mv) des coniques qui touchent une courbe U", 

 était indiqué parla formule m[p.[ni — i) + ^] donnée précédemment [C. R., 

 t. LVIII, p. 3oi). 



u Le théorème XI, d'où est résultée cette formule, prend l'énoncé sui- 

 vant, quand on tient compte des points multiples de U : 



» Dans un système de coniques (jji, v), le lieu d'un point dont la polaire 

 relative à une conique du système coïncide avec l'axe harmonique du point, re- 

 latif à une courbe d' ordre m, douée d\m point multiple R d'ordre r, est une 

 courbe de /'orc/re[p. (m — i) -f-v], qui a en R un point multiple d^ ordre ^[v — i). 



» LXXVI. Le lieu d'un point tel, que le diamètre d'une des coniques qui 

 passent par ce point, et l'axe harmonique du point, relatif à une courbe k,^ 



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