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ayant leiii^s points de contact surL (ihéor. V).Les axes harmoniques de ces 

 points coupent D en (/x+v) points u. Ces points u correspondent à a:. On 

 peut dire aussi qu'ils correspondent au point x' déterminé par l'équation 



» Par un point « deD |iassent lesaxesliarmoniquesde [m — i) pointsdeL. 

 Les tangentes des coniques qui passent par ces [m — i) points coupent D en 

 lJ,{m — i) points x, auxquels correspondent f;. (m — i) points x', déterminés 

 par l'équation. Ces/x(7« — i) points .x' correspondent donc au point u. Donc 

 (d'après le lemme I), il existe p. + v + ix[in — i) = ('«/-'- H- v) points .r'. 

 dont chaciui coïncide avec un jioint correspondant u. Et, par suite, il 

 existe sur L ('«/x + v) points de la courbe cherchée. Cette courbe est donc 

 de l'ordre [miJ. 4- v). 



» Lorsque L passe par le point R, la courbe polaire d'un point //, relative 

 à U,„, a en R un point multiple d'ordre [r — i), et ne rencontre L qu'en 

 [m — i) — (r — i) = m — r autres points. Conséquemment il ne passe par u 

 que [m — r) axes harmoniques des points de L. Les tangentes des coniques 

 en ces points coupent D en iJ.[ni — r) points x. Il s'ensuit qu'il n'existe 

 sur D que «z/j. -f- v — p. (r — i) points x' , dont chacun coïncide avec un 

 point correspondant u. D où l'on conclut qu'il n'existe sur T^ que 



m 



fx + V - ij. [r 



points appartenant à la courbe cherchée ; et, dès lors, que celte courbe, 

 d'ordre (mp, 4- v), a un point multiple d'ordre f;. (r — i), en R. c. Q. F. D. 

 » Corollaire. La courbe rencontre U,„ eu m[inij. -h v) — /-'^'"('' — i) 

 |3oints, autres que R. En chacun de ces points la tangente de U,„ et la tan- 

 gente d'une des coniques qui passent par ce point divisent le segment ej 

 dans le rapport anharmonique donné. Soit n la classe de U^; on a 



in[m — i) — ;■(/' 



et le nombre des points d'intersection des deux courbes devient 



[m + n) u. + m-j. 

 Donc : 



» // existe (m + n) u. -t- mv coniques, dont chacune coujie une courbe Ur;, 

 d'ordre m et de la classe n, en un point tel, que les bmgentes des deux courbes en 

 ce point divisent un segment ef, dans un rapport anharmonique donné. 



n On peut faire, comme nous en avons donné des exemples précédem- 



