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mine les caraclérisliques de divers systèmes de coniques satisfaisant a quatre 

 conditions. Cette recherche peut se traduire en une formule unique, dans 

 laquelle il suffira de donner à certaines indéterminées des valeurs numé- 

 riques relatives aux conditions de la question. 



» Et de même, la détermination du nombre des coniques qui satisfont 

 à cinq conditions, s exprime par une formule unique. 



» On n'aurait pas prévu certainement que des questions si variées, et 

 jusqu'ici presque inaccessibles aux méthodes analytiques, se résoudraient 

 toutes par une même méthode, et surtout par une même formule. Cepen- 

 dant la raison en paraîtra bien simple maintenant; car elle dérive d'une re- 

 marque à laquelle conduisent les nombreux théorèmes sur les systèmes 

 de coniques, contenus dans mes dernières communications. C'est que les 

 propriétés de ces systèmes s'expriment toujours par une fonction telle que 

 (ûtfx-l-êv) des deux caractéristiques du système; fonction dans laquelle 

 v. ou ê peuvent être nuls. Chacune des conditions données étant représentée 

 ainsi par cette fonction, l'on est conduit sans difficulté à une expression gé- 

 nérale des caractéristiques d'un système satisfaisant à quatre conditions; 

 puis, à une expression également générale du nombre des coniques déter- 

 minées par cinq conditions. 



» Chaque propriété d'un système de coniques fait connaître le nombre 

 des coniques qui satisfont à une certaine condition : et c'est ce nombre qui 

 sert à introduire dans une question chaque condition. Par exemple, veut-on 

 que les coniques coupent une courbe A", sous un angle donné, il suffit de 

 savoir que dans un système (fi, v), il existe (m-l-7z)|u.-t-mv coniques qui sa- 

 tisfont à la question (théor. LXXVII, corolL). 



)) D'après cela, nous représenterons chaque condition donnée Z par un 

 binôme («pi -h Sv), qui exprimera le nombre des coniques du système général 

 {[j., v) qui satisfont à la condition Z. Une condition Z' sera représentée 

 par («'fj. -+-6'v); et ainsi des autres. 



Formule générale des caractéristiques d'un système de coniques satisfaisant à quatre 



conditions Z, Z', Z", Z'". 



» Soient 



a/JL-^-gv, a'/jr.-HS'v, (z"/jH-ê"v et a"'/ji.+ S"'v 



les nombres des coniques du système généra! (fx, v) qui satisfont respective- 

 ment aux quatre conditions. On calcule successivement, en partant des 

 cinq systèmes élémentaires, comme il a été dit [C. /»., t. LVIII, p. 3o4), les 



