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(2,6) 



caractéristiques des systèmes 



(3p,Z), (ap, id, Z), (ip, ad,Z), (3d,Z), 



(2p,Z,Z'), (ip, id,Z, Z'), (2cl,Z, Z'), 



(ip, Z,Z', Z"), (id, z, Z',Z"); 



puis les caractérisliques du système final (Z, Z', Z", Z"), et l'on obtient 

 sans difficulté le résultat suivant, dans lequel nous représentons au moyen 

 du signe 1 la somme des termes seml>lables 



^ ^L( 2 a a' a" a'" -f- 4 2 a «'«"S"' + 4 2 a a' g" g'" -h 2 2 « g'g"g"'+ gg'g"g'" ) 



» Observation. Cette formule générale exprime aussi les caracté- 

 ristiques des systèmes dans lesquels les conditions sont de passer par des 

 points ou de toucher des droites. Car si la condition Z, par exemple, est de 

 passer par un point, il suffit pour exprimer cette condition de faire a = i 

 ot g= o. Et de même, si Z' exprime la condition de toucher vuie droite, on 

 fera a' = o et g' = i . 



Formule exprimant le nombre des coniques qui satisfont h cinq conditions Z, Z', Z", Z'", Z". 



» Soit («'"i^ -t- g"v) l'expression du nombre des coniques d'un système 

 (p., v), qui satisfont à la condition Z'"; il suffit, pour avoir le nombre cher- 

 ché N (ZZ'Z"Z"'Z"'), de mettre pour jU. et v les expressions des caractéristi- 

 ques du système (ZZ'Z"Z"'), données par la formule précédente. On obtient 



N ( ZZ'Z"Z"'Z'^) = a a'a"a"'a'^ + 2 2 a «'«"«'" g'^-t- 4 2 « a' a" g'" g'^-t-4 2 a a' g" g'" g'^ 



+ 2 2 « g' g" g'" g" -t- gg' g" g'" g". 



» On remarque que dans cette formule deux coefficients appartenant à 

 une même condition, tels que a et g, n'enirent jamais ensemble dans un 

 même terme, et que l'un des deux se trouve toujours dans chaque terme. 

 On pouvait prévoir qu'il en serait ainsi; car a" et g", par exemple, n'en- 

 trent, comme on vient de le voir, dans la formation du nombre N, que par 

 l'expression a^" [x -\- g'^v, où p, et v sont des fonctions des autres coefficients 

 a, g, cl',.... Ainsi la forme de l'expression de N se pouvait prévoir. Quant 

 aux coefficients des cinq termes, il est clair qu'ils sont les nombres qui ré- 

 pondent aux cas où les cinq conditions sont respectivement (5 p. j; (4p> 'd.); 

 (3p., 2 il.); (4 p , id.) et (5d. ) ; dans lesquels on a 



« = «' = «"=:«'"=«"■= I, et g = g'= g"=g'"= g"'^ o; 



a =: a'= «"= a'" = I, a"=o, et g = g' = g"=; g"'= o, g"'=i; 



a = a'=a"=i, a"' = a'^=o, et g = g'=:g"=o, g"' = g-''=i; 

 <tc. 



