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GÉOMÉTRIE. — Sur tes coniques qui louclieiit des courbes d'ordre queicouque; 

 par 31. Cayley. (Extrait d'une Lettre «dressée à M. Chasles.) 



« En considérant l'expression 



•Ss(S5 + S, + 83-35, + 38.) 



(|ue vous avez donnée {Comptes rendus, t. LVllI, p. 223) pour le nombre 

 des coniques qui touchent cinq courbes d'ordre quelconque, j'ai trouvé 

 (Qu'elle peut s'écrire sous la forme que voici, savoir : en dénotant les ordres 

 par (/n, n, p, q, r), et en mettant I\I = m" — m,..., de manière que 

 (M, N, P, Q, R) seront les classes des cinq courbes, l'expression transfor- 

 mée est 



(M, m)(N,«)(P,/>)(Q,9)(R, r)li,2, 4,4, 2, i!; 



en représentant par cette notation abrégée la fonction 



I. MNPQR 



+ 2 2(mNPQR) 

 + 42(/;mPQR) 

 + 42('7ZR/)QR) 

 -h 2l{ninpqR) 

 + I . uirip(/r. 



M En écartant les relations M = iir — m,..., et en supposant seulement 

 que {m, «, p, q, r) soient les ordres, et (M, N, P, Q, R) les classes des cinq 

 courbes, la nouvelle formule s'applique aux courbes avec des points 

 doubles ou de rebroussement ; on peut même supposer que la courbe de la 

 classe M et de l'ordre /n se réduise à un système de M points et de m droites, 

 et que les autres courbes se réduisent aussi à des systèmes de points et 

 droites; et cela étant, on obtient une vérification immédiate de la fornuile. 

 Car en choisissant dans le système qui remplace chaque courbe un élément 

 point ou droite) à volonté, on obtient 



MNPQR systèmes 5p, 



Z/»NPQRsystcmes ^p, 1 d, 

 InmPQR systèmes '^p.id, 

 liiii.'pQTi systèmes 2p,?>ci, 

 li/inpqli systèmes ]p,/\(l, 

 niripqr systèmes 5(/. 



