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» Or la coïKiition par rapport à la première courbe se réduit à celle de 

 passer par l'un quelconque des M points, ou de toucher l'une quelconque 

 des m droites; et île même pour les autres courbes. Donc (en entendant par 

 le mot /ouc/ier appliqué à im système de points et de droites, passer par les 

 points et toucher les droites tlu système) la conique doit toucher l'un quel- 

 conque dessystèraes (5/j), ou (4/J, i^), ou {3p, id),. . ., ou (5</); et pour 

 un système de la forme 



(5/j), (4/j, !<-/), (3/>, 2f/), {'ip,3d), {ip,^d), ou (5d), 



le nombre des coniques est 



[, 2, 4, 4, 2, ou I, 



ce qui donne pour le nombre total des conicjues l'expression ci-dessus 

 écrite. 



» On peut supposer que la conique, au lieu de toucher les deux courbes 

 m, n, ait avec la seule courbe /h (i") un contact du deuxième ordre; (2°) un 

 contact double. Le nombre des coniques qui satisfont à l'une ou l'autre de 

 ces conditions, et qui passent aussi par trois points donnés, a été trouvé par 

 Steiner {Aujgabe iind Lehrsdtze, Crelle, t. XLIX, p. 270), savoir : (i") le 



nombre = 3 mi m — i) ; (2°) le nombre = -{m^ — m) (w' + 3 m — 6) ; j'ai 



vérifié d'une manière particulière ces deux résultats. 



« En supposant que la conique (au lieu de passer par les trois points 

 donnés) touche les courbes /j, c/, r,jô trouve pour les deux cas respective- 

 ment, ces résultais 



1° Le nombre = 3 [in^ — m) x {ï',p) (Q, q) (R, '') { ', 2, 2, 1 j , 

 2° Le nombre = ^ (//r — m) x (P,/j) (Q, 7) (R, r) j m^ -f-3 m — 6, 

 im- -t- 6ni — 16, 4'"^ + 4'" — 22, 4'"^ — i5 1; 

 formules dans lesquelles la courbe m doit être une courbe sans singularités. 



« Grasmere, VVesImoreland ; 27 juillet 1864. " 



M. Lecoq fait hommage à l'Académie d'un ouvrage intitulé : Les Eaux 

 minérales dans leurs rapports avec la chimie et la géologie. Cet envoi est 

 accompagné de la Lettre suivante : 



« Mon but, dans ce travail, a été de restituer aux eaux minérales la part 

 considérable qui leur appartient dans la formation des terrains, et de mon- 



C. R., 1864, 2™" Semestre. (T. LIX, N» S.) ^^ 



