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 ce résultat d'une autre manière eu disant que les surfaces sont homofo- 

 cales. 



» 2" Chaque surface touche l'enveloppe suivant une courbe et la coupe 

 suivant une ou plusieurs droites tangentes à la courbe aux points où celle- 

 ci rencontre l'arête de rebrousseinent. 



» Il résulte de là qu'une surface ne pourra faire partie d'un système or- 

 thogonal que si elle admet une ou plusieurs génératrices rectilignes paral- 

 lèles aux arêtes du cône asymptote de la sphère. 



» 3" Les cônes de même sommet circonscrits à toutes les surfaces sont 

 homofocaux. 



» 4° Deux surfaces du système se coupant à angle droit peuvent être 

 considérées comme le lieu des centres de courbure d'une troisième surface. 

 Par suite, on pourra toujours intégrer au moins une fois l'équation des 

 ligues géodésiques sur une surface faisant partie d'un système triple ortho- 

 gonal. 



» Il importe de remarquer que les propriétés précédentes ne s'étendent 

 pas à un système quelconque de surfaces orthogonales. Il faut que les trois 

 systèmes ne soient pas donnés par des surfaces distinctes. Toutes les sur- 

 faces du système doivent être comprises dans une même équation. Les 

 mêmes restrictions s'appliquent aux propriétés focales reconnues par 

 M. Kummer. 



» III. Permettez-moi de vous indiquer maintenant un système de surfaces 

 orthogonales que je crois nouveau. Si l'on considère dans le plan des ovales 

 de Descartes ayant trois foyers comnuuis, on remarque que ces courbes 

 homofocales forment un système orthogonal. J'ai été conduit d'après cela à 

 me demander si les surfaces comprises dans l'équation 



{a) [x^ ^ ji -^- z^y- + u-jc'^ + f^-j-^ -+- y-z- — A" = o 



peuvent donner un système orthogonal. 



» A cet effet, soit l'équation d'une nouvelle surface 



{a') (x= -+- j=-t- z'Y + a'-jc--^ /3"j= -h y'- z- - h' = o. 



Pour que les surfaces [a) et [a') se coupent à angle droit, il faut que l'on 

 ait 



h' = /,'« «'^" + 4/'' ^ !^'r + 4^'' ^ 'r7" + 4^'' ^ ^2 



a=_a'' P._p y^-y'^ 



J'introduis un paramètre arbitraire X^ au moyen duquel on pourra exprimer 



C. R., iSeij, 2'"^ Semeiire. (T. LIX, N" 3.) ^2 



