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a'. ,'5', -/. On aura ainsi l'éqnation générale des surfaces coupant ortiiogo- 

 nalemenl la surface [a). Ce qu'il y a de remarquable, c'est que deux quel- 

 conques de ces surfaces se coupent à angle droit. J'emprunte, pour le dé- 

 montier, le procédé si élégant que vous avez bien voidu me communiquer. 

 Soit une troisième surface 



(a") (x= + j^ + z.= Y + c("^^- + fi"- f + f-z- - It' = o, 



coupant à angle droit la surface [a). On a 



a'a"' -h 4 h' _ p'P"' + 4/i' _ 7='/"» -f- 4 />' _ j 

 a' — a""^ ~ j3" — P"' ~ 7' — ■/"- " ''^ 



On déduit de là 



ci"a"'-h^/i' _ p ').' + 4/j' _ P"p + 4.V _ 7"y"' + 4/'' 



Donc les surfaces (a') (a") sont orthogonales. 



•) Ainsi on a un système triple orthogonal formé de surfaces dont l'équa- 

 tion est 



On peut obtenir un système renfermant plus de constantes arbitraires, en 

 transformant par rayons vecteurs réciproques. 



» J'indique rapidement les propriétés géométriques des surfaces trouvées. 



)) Elles sont réciproques par ra[)port à elles-mêmes. Toute sphère les 

 coupe suivant une courbe qui se trouve sur une surface du second degré. 

 [J'ai montré qu'une telle courbe jouissait des propriétés focales suivantes : 

 Elle admet pour courbe focale une courbe de même espèce; lesdeux courbes 

 sont les focales l'une de l'autre; il y a une relation linéaire et homogène 

 entre les distances d'un point quelconque de l'une des courbes à trois points 

 quelconques mais fixes de l'autre.] Donc toute sphère doublement tangente 

 coupe la surface suivant deux cercles. Il y a cinq s|)hères doublement tan- 

 gentes en un point, donc dix sections circulaires passant en un point de la 

 surface. Ees focales sont planes: on obtient leur équation en faisant dans 

 l'équation (a) >.égal à — a^ — (î'^ ou —7^ et rejetant de l'équation le terme 

 qui deviendrait infini. Enfin, il y a des droites au nondjre de huit sur cha- 

 cune des surfaces, et, comme l'indique la théorie générale, ces droites sont 

 parallèles aux génératrices du cùne asymptote de la sphère. 



» Pour h'' = -H co on a le système ordinaire des surfaces du second 

 degré. » 



