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GÉOMÉTRIE. — Lignes de courbure d'une classe de surfaces du quntrièine ordre. 

 (Extrait d'une Lettre de M. Moltard à M. Ossian Bonnet.) 



«... En recherchant les lignes de courbiu-e d'une classe de surfaces qui 

 joue un rôle important dans la transformation par rayons vecteurs réci- 

 proques, j'ai rencontré un système triplement orthogonal qui me paraît 

 remarquable par sa simplicité. Les surfaces dont il est question sont les 

 surfaces du quatrième ordre qui contiennent, comme li^^ne double, le cercle 

 de l'infini; elles peuvent être de cinq manières différentes, définies comme 

 le lieu des intersections successives des sphères qui coupent orthogonale- 

 nient une sphère fixe, dite sphère jirinripale, et dont les centres parcourent 

 une surface directrice du deuxième ordre. Four faciliter le discours, je les 

 désignerai par le nom d'annllagnintiques du quatrième ordre, à cause de 

 la propriété dont elles jouissent de ne pas être modifiées, lorsqu'on les trans- 

 forme par rayons vecteurs réciproques, en prenant le centre d'une sphère 

 principale pour pôle, et le carré du rayon de cette sphère pour paramètre 

 de la transformation. 



» La courbe d'intersection de chaque surface directrice et de la sphère 

 principale correspondante est une ligne Jocale de l'anallagmatique. Cette 

 courbe peut être^ en effet, regardée comme faisant partie du lieu des centres 

 des sphères de rayon nul, doublement tangentes à la surface, ou, ce qui 

 revient au même, comme une ligne double de la développable circonscrite 

 à la surface et au cercle de l'infini. Lorsque deux anallagmatiques du 

 quatrième ordre ont en commun une ligne focale, elles admettent les 

 cinq mêmes sphères principales et les cinq mêmes lignes focales; je dirai 

 qu'elles sont homofocales. 



» Cela posé, on peut, à l'aide d'une construction géométrique d'une 

 extrême simplicité, démontrer : 



» 1° Que deux anallagmatiques homofocales du cpiatrième ordre se 

 coupent partout à angle droit, et que leur courbe d'intersection est à la fois 

 une ligne de courbure de l'une et de l'autre; 



Il 2° Que par tout point de l'espace il est possible de faire passer trois 

 anallagmatiques, admettront pour ligne focale une courbe sphérique donnée 

 du quatrième ordre. 



» De là résulte donc que iemenible des surfaces anallagmatiques homo- 

 Jocales du quatrième ordre forme un système triplement orthogonal. 



'1 Je laisse de côté les nombreuses conséquences de cette proposition, 



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