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» Les fonctions définies par les équations (3) sont les termes d'une série 

 toujours convergente, si toutefois les coefficients de l'équation (2) ne pren- 

 nent que des valeurs finies lorsque t varie de z à jt. 



» En désignant par <p (x, z) la somme de cette série, on aura 



» 2" En désignant par 9 (z) le polynôme suivant 



rt„ 



où r/o, rt,, rt.j, . . . , (7p, désignent les valeurs de la fonction et de ses p pre- 

 mières dérivées correspondantes à la valeur Xo de la variable indépendante, 

 on remplacera, dans le second membre de l'équation proposée [}) J par 

 5 (z), et, en représentant le résultat de cette substitution par F (z), on aura 



(6j F(z) = A(z) + Ao(z)0(z) + A,(z)^' + ... + A,(z)^). 



» 3° Les deux fonctions ^(x, z) et F(z) étant ainsi obtenues, à l'équa- 

 tion (i) on substituera la suivante 



dxP- 



^=F(x)+ f f{x,z)F{z)dz, 



et par suite, en représentant par >]^o('^) et W{x) les résultats obtenus en in- 

 tégrant p -+- 1 fois et chaque fois de x,, à x, 



1 f{x,z)F{z)dz, 



on aura finalement 



(8) - J = e(x)-+-^o(x)-^T(x). 



Ainsi le calcul de l'intégrale générale d'une équation linéaire quelconque 

 se réduit à un nombre limité de quadratures dès qu'on connaît la fonc- 

 tion (p{x,z) correspondante à l'équation donnée. Quant à cette fonction, 

 les équations (3) et (4) montrent qu'elle existe toujours, qu'elle ne contient 

 aucune constante arbitraire et que sa valeur est indépendante de A(x). » 



C. R., 1864, 2'°<- Semestre. (T. LIX, N» S.) 33 



