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 (luit, par la méthode générale et sans la moindre difficulté, telles conditions 

 simples que l'on veut, à la place des points et des droites. 



» En représentant les conditions simples par les expressions a,u,-l-êv, 

 comme nous l'avons fait, on obtient des formules générales, analogues aux 

 formules (ZZ'Z"Z"'), et N(ZZ'Z"Z'"Z'^) données précédemment [C. i?., 

 t. LIX, p. 216). Puis de ces formides on en ))eut conclure d'autres, dans 

 lesquelles les conditions simples sont représentées différemment, savoir, 

 par des fonctions des caractéristiques des systèmes où ces conditions en- 

 trent avec des points et des droites, comme nous allons le dire ci-après. 



» L'autre manière de procéder, plus générale à certains égards, consiste 

 à prendre une condition multiple et à l'introduire par parties dans des sys- 

 tèmes successifs, quelles que soient les autres conditions. Uemande-t-on 

 par exemple que des coniques aient un contact du second ordre avec une 

 conique donnée U, et satisfassent à trois conditions simples? On consi- 

 dérera le système de coniques tangentes à U, et satisfaisant aux trois con- 

 ditions; puis on exprimera, comme cinquième condition, que les coniques 

 aient avec U un point d'intersection infiniment voisin du point de contact. 



» On obtient ainsi une expression générale du nombre des coniques 

 demandées. Les trois conditions simples Z, Z', Z", s'y trouvent repré- 

 sentées, non plus par les expressions («f;. + êv), mais directement par les 

 caractéristiques des systèmes élémentaires (Z, Z', Z", i p.)<^t (Z, Z',Z"^ i d.). 



» Ainsi soient u.', v' et p.", v", ces caractéristiques, de sorte que (en repré- 

 sentant Z, Z', Z", simplement par 3Z) on ait 



(3Z, ip.) = (fj.', v'), 

 (3Z, id.)E^(/x",v"). 



Le nombre des coniques qui satisfont à ces conditions 3Z et à une con- 

 dition double, est une fonction des caractéristiques f».', v', p." et v" (qui se 

 réduisent à trois, car p." = v'), résultat extrêmement simple. Il est possible 

 même qu'il n'y entre qu'une seule des trois caractéristiques. C'est ce qui a 

 lieu dans la question des coniques osculatrices à une conique U; le nombre 

 de ces coniques est simplement 3v', c'est-à-dire trois fois le nombre des 

 coniques qui satisfont aux cinq conditions 3Z, i p., 1 d. 



» DeiiKuide-t-on que les coniques (3Z) aient un double contact avec 



une conique U? leur nombre est /x' -+- v" — -v'. 



» Mais ces formules, auxquelles conduit celte deuxième manière de 



