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 traiter la question des conditions doubles, peuvent se conclnre aussi de la 

 première méthode, où l'on part des systèmes élémentaires. 



» Ces formules générales ont le grand avantage de s'appliquer à la so- 

 lution des questions dans lesquelles existent deux conditions multiples, 

 comme nous le verrons. Ainsi, la méthode a toute la généralité désirable. 



SYSTÈMES ÉLÉMENTAIRES OU ENTRETJT DES CONDITIONS DOUBLES. 



» Les systèmes élémentaires (dont les quatre conditions sont des points 

 et des droites) donnent lieu à deux cas de conditions doubles: i" le cas 

 où un point est situé sur une droite; et i° le cas où deux points sont situés 

 sur deux droites. 



» Lorsqu'un point est situé sur une droite, les coniques sont toutes tan- 

 gentes à la droite en ce point. Nous exprimerons cette condition par la 

 lettre 9. Il existe trois systèmes élémentaires où entre cette condition, 

 savoir : {ô, i p.), (5, i p., i d.), (9, i d.). 



» Lorsque deux points sont situés sur deux droites, il en résulte un sys- 

 tème de coniques qui se touchent tontes en ces deux points; nous repré- 

 sentons ce système par (S, 6'). 



§ I". —Système (9, 9'). 



)) Les deux caractéristiques du système [9, 9') sont égales à l'unité; de 

 sorte qu'on écrira 



(e,5')E^(i,i). 



)) Le nombre des coniques de ce système, qui satisfont à une condi- 

 tion Z, résultera, comme dans toutes les questions déjà traitées, d'une pro- 

 priété d'un système général (p., v), relative à cette condition. De sorte 

 que, si nous représentons par (a/JL + êv) le nombre des coniques de ce sys- 

 tème (f7., v) qui satisfont à la condition Z, le nombre des coniques (0, 9') 

 satisfaisant à cette condition est 



N(Z,e, Ô') = a + S. 



» On conclut de là immédiatement de nombreux théorèmes, par exemple : 



» Les coniques [9, 9') ont leurs joy ers sur une courbe du troisième ordre, et 

 leurs sommets sur une courbe du cinquième ordre. 



n Leurs axes enveloppent une conique. 



» Il existe (m + n) coniques tangentes à une courbe U^, d'ordre m et de In 

 classe n. 



1) Corollaire. Des cercles concentriques forment un système (ô, 5') dont 



/,6.. 



