( 348 ) 

 les deux points de contact sont imaginaires, à l'infini. Les points de contact 

 de ces cercles et d'une courbe U^ sont les pieds des normales abaissées du 

 centre commun sur la courbe. On conclut donc du dernier théorème que : 

 » Le nombre des normales qu'o/i peut abaisser d'un point sur ime courbe 

 d'ordre m el de ta classe n, est (m + n). 



§ II. — Systèmes (aZ, 6). 



» Les coniques (aZ, 6), qui ont un point de contact commun et satis- 

 font à deux conditions 2Z, admettent les trois systèmes élémentaires : 



(ap.,Ô) = (i,2), 



(ip., ld.,Ô)EEE5(2, 2), 

 (2d.,5) = (2, I). 



En introduisant dans ces systèmes des conditions Z, Z', Z", on forme les 

 suivants : 



(ip.Z,S), (id.Z,ô), (Z,Z',5); 



et du dernier on conclut N (Z, Z', Z", 5), c'est-à-dire le nombre des co- 

 niques qui ont un point de contact commun 6 et satisfont à trois conditions. 



» Nous avons vu qu'on peut introduire chaque condition Z au moyen 

 de l'expression a[j. -+- êv du nombre des coniques du système général (jji.,v) 

 qui satisfont à la condition. Il devient nécessaire de donner un nom à cette 

 expression (a^iJi -+- 6v), qui doit se présenter souvent. Nous l'appellerons le 

 module de la condition Z. 



» Soient au.-hSy, «'/jl -f- S'v, a"jx+ S"v les modules des trois condi- 

 tions Z, Z', Z". On conclut des systèmes élémentaires ci-dessus les suivants : 



(ip.Z, 5')^h( a -h 2 g, 2a + 2g), 

 (ip.Z, (5) = (2a -t- 2g, 2a+ g); 

 puis celui-ci 



(Z,Z',Ô) = [(aa'+ 22ag'+ agg'), (2aa'+ 2 2«g'-+- gg')J; 

 et enfin 



N(Z, Z', Z", 6) = x(/.'a"-+- 2 2aa'g"-^ 2 2ag'g"-4- gg'g". 



» Ces formules générales serviront à résoudre toutes les questions con- 

 cernant les coniques ayant un point de contact commun. 



» On leur donnera une autre expression plus utile encore, connue 

 nous le dirons plus loin. 



