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 Puis, au moyen de la formule 



(Z, Z', 0) = (3p.", 3v"), 



(j.", v" se rapportant au système (2Z, i p., i<i.);^(|x", v"), on forme les 



systèmes 



(Z, ip.,0), (Z, rd,0), 



qui font connaître les nombres N (Z, i p., O, Z), N(Z, i cl., O, Z'), et con- 

 séqiiemment les caractéristiques du système (Z, O, Z'). 



» Enfin, dans le troisième cas Z, Z', O, on introduit successivement Z, 

 Z' dans les cinq systèmes élémentaires, pour former le système 



(Z, Z', .|.., .d.) = (p-", v"). 

 Le système demandé est 



(Z, Z', 0) = (3jui", 3v"). 

 » Les cordes interceptées dans O par les coniques osculatrices enveloppent 

 une courbe de la classe ( /x'h — v' j» p.', v' appartenant au système 



(2Z,2p.)^(p.',v'). 

 CONTACTS DU TROISIÈME ORDRE. 



§1. — Coniques (Va) ayant un contact du troisième ordre afec une conique U e/t un point (t. 



M Les coniques qui ont un contact du troisième ordre avec une conique U 

 en un même point 6 forment un système dont les caractéristiques sont 

 égaies à l'unité. Ainsi 



)) Cette formule est la même que pour le système (5, 6')^(i, i). On se 

 rend compte de cette identité ; car les coniques du système {Ô, 6') ont un 

 double contact avec une même conique U. Or, quand les deux points de 

 contact Ô, 6' sont infiniment voisins, le double contact devient un contact 

 du troisième ordre. Les propriétés du premier système deviennent donc 

 celles du deuxième. 



§ II. — Systèmes de coniques ayant un contact du troisième ordre avec une conique U, 



en des points différents. 



)> La condition d'avoir un contact du troisième ordre avec une conique U 

 en un point non déterminé est une condition triple; par conséquent une 

 autre condition suffit pour déterminer un système de coniques. On a donc 

 deux systèmes élémentaires, dans l'un desquels entre un point, et dans 



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