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Le principe de la conservation d'énergie, énoncé analyliquenienl, est 

 simplement que cette formule doit èlre une différentielle complète d'une 

 fonction des variables de p et v, et, par conséquent, elle s'exprime par 

 l'équation. 



ou 



i(Ev|) = |:(E^'|-p 



„ / , s i/-t „ /liy dt de' (Il 



dpdv \dv dp dp dv j 



qui est la formule (g) de la communication de M. Dupré. » 



, GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. — Etude des jioinls à l'infini dans les surfaces 

 alrjéliriques. Note de M. Paixvin, présentée par M. O. Bonnet. 



« L'étude directe des points à l'infini est d'abord importante au point 

 de vue logique; indépendamment de cet avantage, la méthode analytique 

 que j'ai adoptée et qui m'a conduit aux résultats suivants permet en outre 

 d'examiner dans tous ses détails et ses variétés la nature du contact des 

 plans tangents à l'infini, et de discuter les nombreuses particularités des 

 points multiples à l'infini. 



» La surface considérée étant du degré m, je représente par (p,„ (.r, j-, z) 

 l'ensemble des termes du m"""" degré, et j'appelle directions asymptoliques 

 les génératrices du cône ç,„( a:, j, z) = o. 



» PoiiNTS SIMPLES A l'infini. — Si I est un point à l'infini sur la surface U, 

 et correspondant à la direction asymptotique G, ce point sera simple lors- 

 qu'une droite quelconque passant par le point 1, c'est-à-dire parallèle à la 

 droite G, ne rencontrera la surface qu'en un seul point. 



» Le plan tangent à la surface en I ou plan asymptote (P) est parallèle 

 au plan touchant le cône des directions asymptotiques suivant la généra- 

 trice G ; ce plan P coupe la surface suivant une courbe ayant un point 

 double à l'infini-, les tangentes en ce point double (ou tangentes injlexion- 

 netles de la surface) sont les intersections par le plan P de la polaire du se- 

 cond ordre du point I à l'infini; nous désignerons par (S) cette surface, la- 

 quelle est aussi la surface diamétrale du second ordre correspondant aux 

 cordes parallèles à la droite G. 



i> La nature du conlact du plan asymptote P est indiquée d'une ma- 

 nière très-nette par la forme de la surface S, comme on le voit dans le ré- 

 sumé suivant : 



