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 o 1° La surface S at un ellipsoïde ou un Ityperboloïde à deux nappes. 

 » Le point double de la section parle point P est isolé; il serait imagi- 

 naire si la direction asymptotique était imaginaire. 

 )) 2° La surface S est un hyperboloïde à deux nappes. 



» Le point double de la section est un point double ordinaire dont les 

 deux tangentes ou asymptotes parallèles sont à distance finie. 



» 3*^ La surface S esl un cùne. 



n Le point double à l'infini de la section par le plan P est un point de 

 rebroussement, la tangente de rebroussement est à distance finie. 



w 4" La surface S est un paraboloide. 



» Si la direction asymptotique n'est pas parallèle à l'axe du paraboloide, 

 le plan asymptote est à dislance finie et coupe la surface suivant une 

 courbe ayant un point double à l'infini, dont une des tangentes, et une seule, 

 est à l'infini. 



» Si la direction asymptotique est parallèle à l'axe de la surface S, le 

 plan asymptote est à l'infini, l'arête G est une arête double du cône des di- 

 rections asymptoliques, les deux tangentes au point double sont à l'infini 

 dans les deux plans tangents au cône suivant l'arête double. 



» Lorsque le paraboloide est elliptique, le point double est isolé. 



M 5° La surface S est un cjlindre ellipticjue ou hyperbolique. 



» Si la génératrice G n'est pas i)arallèle au cylindre, le point double de la 

 section par le plan asymptote est au point de rebroussement, la tangente 

 de rebroussement est à l'infini; le plan asymptote est à distance finie. 



» Lorsque le cylindre est ellii)!ique, le point de rebroussement est isolé. 

 Il peut arriver que le plan asymptote touche la surface tout le long d'une 

 droite à l'infini. 



)) Si la génératrice G est parallèle au cylindre, le point I à l'infini est un 

 point double de la surface. 



» 6° La surfice S se compose de deux plans qui se coupent. 



» Le plan asymptote coupe alors la surface suivant une courbe ayant lui 

 point triple à l'infini; tout plan parallèle à la direction asymptotique coupe 

 la surface suivant ime courbe dont le point à l'infini est un point d'inflexion ; 

 une droite quelconque située dans le plan asymptote et parallèle à la direc- 

 tion asymptotique rencontre la surface en trois points coïncidents. 



» Si la génératrice G est parallèle à l'intersection des deux plans, le 

 point à l'infini est un point double de la surface. 



» 7" L'i surface est un cylindre parabolique. 



» La droite G est, dans le cas actuel, une arête de rebroussement du cône 



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