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des directions asymptotiques; si la génératrice G n'est pas parallèle au cy- 

 lindre, le plan asymptote est à l'infini et coupe la surface suivant une 

 courbe ayant un rebroussement au point de contact; la tangente de re- 

 broussement est à l'infini dans le plan touchant le cône suivant son arête 

 de rebroussement. 



» Il [)eut arriver qne le plan asymptote à l'infini touche la surface tout le 

 long d'une droite à l'infini. 



» Si la génératrice G est parallèle au cylindre, le point à l'infini est un 

 point double de la surface. 



» 8° La siirjnce S se compose de deux plans, dont un à l'infini. 



» La direction asymptotique n'étant pas parallèle au plan à distance 

 finie, le point à l'infini est alors un point simple ; le plan asymptote est à 

 l'infini, et le point de contact est un point triple de la section par ce plan ; 

 la génératrice G est, dans ce cas, une arête triple du cône des directions 

 asymptotiques. 



)) Si la direction asymptotique est parallèle au plan à distance finie, le 

 pointa l'infini est un point double de la surface. 



» N. B. Dans le cas d'un point simple, la surface S ne peut pas se ré- 

 duire à deux plans parallèles ou à deux plans coïncidents. 



» Points doubles a l'infini. — En un point double I à l'infini sur 

 une surface, les tangentes proprement dites forment un cylindre du second 

 degré, parallèle à la direction asymptotique G, sur laquelle se trouve le 

 point I; la droite G est une arête double du cône des directions asympto- 

 tiques, c'est une condition nécessaire à l'existence d'un point double, mais 

 non suffisante. 



» Par définition, une droite quelconque passant par le point double I, 

 c'est-à-dire parallèle à la génératrice G, rencontre la surface en deux points 

 coïncidents à l'infini. 



» Un plan quelconque passant par le point double, c'est-à-dire paral- 

 lèle à la droite G, coupe la surface suivant une courbe ayant un point double 

 en I à l'infini; les tatigenles en ce point double sont les intersections du 

 cylindre asymptote par le plan sécant. 



» Un plan langent quelconque au cylindre asymptote coupe la surface 

 suivant iuk; coiube ayant im point tie rebroussement en I à l'infini; la tan- 

 gente de rebroussement est la génératrice de contact, elle a avec la coiu-be 

 un contact de premier ordre; c'est tui rebroussement de première espèce. 

 » I,es plans asynqitotes du cylin'lre (lesquels sont parallèles aux deux 

 planstangrntsau cône des directions asymptotiques suivant l'arêtedoubleG) 



