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 donnent les tangentes transportées à l'infini; ces tangentes sont réelles 

 ou imaginaires, suivant que le cylindre est elliptique ou hyperbolique. Ces 

 plans asymptotes coupent la sin-face suivant une courbe ayant un point de 

 rebroussement à l'infini ; la tangente de rebroussement est la génératrice de 

 contact, laquelle est aussi à l'infini. 



» Parmi les génératrices du cylindre asymptote, il y en a six qrd rencon- 

 trent la surface en I en quatre points coïncidents: je les nommerai tauçjeiUei 

 injlexionnelles. La polaire (2) du troisième ordre du point I à l'infini a ce 

 pointpour/jo//i/f/oi<6/eetaméme cylindre asymptote que la surface proposée; 

 le cylindre asymptote et la surface (2) se coupent suivant six droiles 

 parallèles à la génératrice G : ce sont les six tangentes inflexionnelles. 



« Un plan quelconque, passant par une tangente inflexionnelle, coupe 

 la surface suivant une courbe ayant un point double en I; une des asym- 

 ptotes en ce point double est la tangente inflexionnelle, laquelle a avec 

 la courbe un contact du second ordre : c'est donc une tangente d'inflexion. 

 Le plan tangent au cylindre suivant une tangente inflexionnelle coupe la sur- 

 face suivant une courbe ayant un rebroussement à l'infini; la tangente de 

 rebroussement est la tangente inflexionnelle, elle a avec la courbe un 

 contact du second ordre : c'est un rebroussement de deuxième espèce. 



» Je passerai sous silence les énoncés des propriétés relatives aux diffé- 

 rentes variétés du point double, variétés qui se classent naturellement 

 d'après la nature du cylindre asymptote. 



» Surface asymptote. — J'appelle surface as/mptote l'enveloppe des 

 plans asymptotes de la surface proposée; c'est une surface développable. La 

 surface développable asymptote est, en général, de l'ordre 



m [3171 — 5 ) , 



si m est le degré de la surface primitive. 



» Lorsque le cône ç,„ {jc,j\ z) des directions asymptotic[ues possède une 

 arête double ordinaire ou une arête de rebroussement (ne correspondant pas 

 à un point double de la surface U), l'ordre de la surface asymptote est di- 

 minué de deux ou de quatre unités. 



» Lorsque la surface U a un point double à l'infini, l'ordre de la surface 

 asymptote est, en général, diminué de six unités; mais, si la direction 

 asymptotique correspondant au point double est une arête triple du cône 

 'pm{^, )'^ z) , la diminution sera de neuf on de douze unités, suivant que 

 cette arête n'appartiendra pas ou appartiendra au cône ç',„_, {x,j, z) [j,e 

 représente par (p,„_, {x,j, z) l'ensemble des termes de degré [m — i) dans 

 l'équation de la surface U]. 



