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 de Sturiu on peut substituer des fonctions des invarianis d'une forme 

 binaire de degré impair quelconque, pour déterminer le nombre de ses ra- 

 cines réelles et imaginaires. De plus, IM. Hcrmite, en suivant une marche 

 toute particulière, a donné les criterin actuels, qui servent a. peii près pour 

 distinguer entre les trois cas qui se présentent dans la considération des 

 formes du cinquième degré, c'est-à-dire le cas où toutes les racines sont 

 réelles, celui où trois seulement sont réelles et le cas où il n'y a qu'une seule 

 réc-Ue. Cependant ce grand travail avait laissé quelque chose à désirer; car 

 pour remplir cet objet, M. Ilermite a été conduit à se servir de cinq inva- 

 riants, un du degré 4, nn (le discriminant) du degré 8 et trois chacun du 

 degré i 2, tandis que la méthode de M. Stinm n'exige que l'emploi de quatre 

 ivilcrin. De plus, le système de conditions donné par M. Hermite n'est pas 

 absohnucnt complet, mais laisse une certaine lacune à combler : je veux 

 dire qu'il y a de certaines combinaisons de ses crileria pour lesquelles il 

 reste douteux si la forme possède cinq ou bien une seule racine réelle ; c'était 

 une omission dont M. Hermite avait conscience et qu'il aurait sans doute 

 trouvé le moyen de remplir. En me pénétrant de l'esprit delà méthode de 

 M. Hermite, mais ensuivant une tout autre voie d'application, je suis parvenu 

 à trouver la solutiori la plus générale de ce problème important sous une 

 forme d'une simplicité qui ne laisse rien à désirer, et à laquelle aucun cas 

 n'échappe. Dans celte sohition, au lieu d'excéder le nombre des criterin 

 donnés par la méthode générale de M. Sturm, on se sert d'un de moins; en 

 effet, en outre du discriminant, on n'a besoin que d'un invariant (le seid 

 qui existe) du quatrième ordre et un du douzième ordre. Nommons D le 

 discriminant de la forme proposée, J le discriminant de son covariant qua- 

 . dratique le plus simple multi|)lié par — 4? L le discriminant de son covariant 

 cubique le plus simple multiplié par — 27, et de plus écrivons 



A = J' -2"L; 



J, 0, A suffisent pour déternùner le caractère des racines selon la règle sui- 

 vante : 



» Quand D est iiéijntif, trois racines sont réelles, deux imaginaires. 



» Quand D est positif, si S et A-+- fxJD sont tous les deux négatifs, les racines 

 seront toutes réelles ; dans le cas contraire, une seule sera réelle. 



» [J. est un paramètre numérique variable à volonté entre certaines limites 

 que j'ai trouvées, mais que je n'ose rapporter, n'ayant pas les calculs sous 

 mes yeux. Je crois cependant pouvoir affirmer en toute sûreté que ces 

 limites sont ou i, — 2, ou bien — 1,2. Avec ces mêmes criterin on peut 



