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 aussi déterminer le caractère des racines dans le cas où D devient zéro, mais 

 je n'entrerai pas ici dans ce détail. 



» La valeur p. = — ^ ne sort pas des limites permises, et on trouvera que 



A — I JD s'exprime facilement en fonction des racines. Nommons-les 



a, h, c, d, e en désignant par R un certain coefficient numérique et positif, 

 on aura 



|jD-A 



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= Ky^[{a-bf{a-cY{b-c)^a-dy{n-ey{b-dy{b-eY{c-dy(c-e)*]. 

 De plus, en nommant q un autre multiplicateur numérique et positif, on 



-J = qy[{a-by-^a-cy{b-cy-{d~en 



aura 



Posons 



Q {d, e) = {a- bf {a - cy {b — cy [d - e)\ 



Alors, pour distinguer entre le cas où il n'y a pas de racines imaginaires et 

 le cas où il y en a quatre (les seuls qui se présentent cpiand D est positif), 

 la règle donnée ci-dessus conduit à l'observation que si les racines ne sont 



|)as toutes réelles et si D est positif, ^1 Q (</, e) et ^ ^,^ ^ ne peuvent pas 



rester tous les deux positifs. Dans le cas contraire il est évident que 



^Q et 2iï^°"' \.ou& les deux positifs. J'ajouterai quelques mots sur la 



marche que j'ai suivie pour obtenir ces résultats. Je démontre qu'en géné- 

 ral la forme {oc, j-y peut être réduite par des substitutions linéaires et 

 réelles à l'expression au^ -h hv^ -\- cw^ , où iv est une fonction linéaire et 

 réelle de x, j^; u, v des fonctions linéaires, mais pas nécessairement réelles, 

 et où de plus u-h v + w=:o. Le cas d'exception, c'est celui où le covariant 

 cubique du troisième ordre par rapport aux coefficients (dit le canonisant) 

 contient des racines égales ou bien s'évanouit. Dans ce cas, sauf la sup- 

 position de trois racines égales et quand, conséquemment, tous les inva- 

 riants s'évanouissent, la proposée se réduit par des substitutions linéaires à la 

 forme de Jerrard acc^ -\- exj* +Jj^- De là on conclut facilement que, étant 

 donnés J, D, L (pourvu qu'on n'ait pas en même temps J = o, D = o, L= o), 

 le caractère des racines, quant à la distinction entre le réel et l'imaginaire, 



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