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fst absolument déterminé, et de plus que ], D, L, non -seulement doivent 

 élre réels, mais encore (comme l'a remarqué le premier mon devancier 

 iM. Hermite) doivent satisfaire à une cerlaine condition d'inégalité, c'est- 

 à-dire qu'inie certaine fonction (nommons-ia G) do J, D, L doit rosier tou- 

 jours positive. Je prends J, D, L pour coordonnées d'un point dans l'espace. 

 Alors la surface G = o divisera l'espace en doux portions pour l'une 

 desquelles (qu'on |)eut nommer /( j)oi lion facilita live) tous les points corres- 

 pondront à lies familles d'équations avec des coefficients réels et dans l'autre 

 (qu'on peut nommer la porlion non facullalive) tous les points correspon- 

 dront à des familles d'équations avec des coefficients conjugués. Ces deux 

 portions d'espace sont exactement égales et contraires, étant disposées 

 symétriquement par rapport à l'axe de D. Cela étant, je trouve que la pre- 

 mière (en faisant pour le moment abstraction du plan de D) se divise en 

 trois régions. Toute la portion facultative au-dessous du plan de D constitue 

 une seule région, tandis que la portion facultative au-dessus de ce plan se 

 divise en deux régions qui se rencontrent dans la ligne où la surface G 

 toucbe le jdan de D, c'est-à-dire la ligne parabolique A = o, D = o. 



» La condition qui fixe les limites de ces trois régions ou, si l'on veut, de 

 ces trois circonscriptions limitroplies, c'est qu'on doit pouvoir passer dans 

 une région donnée d'un point à un autre sans percer ni toucher le plan 

 de D. Cela étant ainsi, on démontre facilement que pour chaque région les 

 tHmilles des formes représentées par un point qui y est renfermé appar- 

 tiennent à la même catégorie, quant au nombre de leurs racines réelles et 

 imaginaires, et on assigne sans aucune difficulté son propre caractère radi- 

 cal à chaque région. En exprimant dans la langue de l'analyse les condi- 

 tions qui servent pour déterminer à quelle région répond un système donné 

 de valeurs de J, D, L, on établit la régle_donnée ci-ilcssus pour fixer le ca- 

 ractère des racines de la forme à laquelle ces trois invariants appartiennent. 

 On devinera facilement comment le paramètre p. vient s'offrir dans ces con- 

 ditions : en effet, 



A -+- ju. JD = o 



représente une surface qui, passant par la ligne limitrophe aux deux régions 

 supérieures, ne passe par aucun point facultatif au-dessus du plan de D, 

 c'est-à-dire ne rencontre nulle part la surface G = o an-dessus de ce plan. 

 » Le perfectionnement que j'ai eu le bonheur d'ajouter ainsi à la décou- 

 verte de mon coi<frere s est offert à moi comme une conséquence (dans 



