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 » Pour la duplication on a donc le détermiiiam l\ = o, et la valeur cor- 

 respondante de j-2 sera, à cause de l'équation (3) , 



(4) W' = U, - H,3 + g /i K.y. 



» Si .r,, JC21 -^'sî^oja» J'3 sont les coordonnées de deux points situés 

 sur la ligne du troisième ordre u = o, et l'on suppose que le second de ces 

 points soit un des points de contact des tangentes conduites à la courbe du 

 point jc, : X2 : JTj, il est évident qu'on a P, = o; c'est-à-dire que larecherche 

 de ces tangentes revient à celle de la duplication des fonctions elliptiques, 

 comme M. Clebsch a démontré; de plus, les équations (4) donnent les va- 

 leurs des coordonnées des quatre points de contact, en substituant au lieu 

 de z les quatre racines de l'équation du quatrième degré obtenue pour la 

 duplication. 



') La triplication correspond à Q, = o, ou à la recherche des points 

 d'inflexion; les coordonnées de ces neuf points sont données par les expres- 

 sions 



my, = U, — II, z. — -^ /z K, '— ^- , 



en posant pour z les neuf racines de l'éfjiiation (i). 

 )) On obtient aussi facilement que la conique 



du du du 



'Oi ".}' "Xi 



passe par les quatre points de contact donnés par les équations (4) et 

 touche la courbe au point x, : x^ ; x^, comme il est connu ; et que les neuf 

 points d'inflexion sont situés sur la courbe 



» Les résultats obtenus ci-dessus ont un grand intérêt dans les recherches 

 sur les formes cubiques ternaires, surtout dans l'étude géométrique de ces 

 formes. Enfin, en sejrappelant les deux transformations ducs à M. Aronhold 

 et à moi, par lesquelles on réduit aux fonctions elliptiques l'expression 

 fj{x, 7), la fonclion^'étant rationnelle et les variables .r, j liées par une 

 équation du troisième degré, on démontre facilement que la multiplication 

 des transcendantes de cette forme se déduit des formules précédentes. » 



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