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GÉOMKTRIE ANALYTIQUE. — Sur le nombre des coniques qui satisfont à des con- 

 ditions doubles. Note de M. L. Cremona, coninuiniquée par M. Chasles. 



« Votre idée heureuse de définir une série de coniques assujetties à 

 quatre conditions communes par deux caractéristiques indépendantes, peut 

 s étendre tout naturellement à la définition d'un système de coniques assu- 

 jetties à trois seules conditions communes, par trois nombres X, jx, v dont la 

 signification est la suivante : 



N(2p.. 3Z) = /,, N(ip., id.,3Z)=/j., N(2d., 3Z) = v. 



où 3Z,(Z,, Z2, Z3), est le symbole des trois conditions aux modules {c.,, /3,), 

 '(Zj, fin), («3, /Sa). 



» Cette extension est, du reste, explicite déjà dans votre dernière com- 

 munication [Comptes rendus, 21 août); seulement, au lieu des deux équa- 

 tions 



(ip.,3Z)~()., fx), (id.,3Z) = (^,v), 



j'en écrirai ime seule, 



(2Z)ees(X, (j., v). 



» Je me propose de déterminer la fonction de X, p., v qui représente le 

 nombre des coniques du système (X, p., v) ayant un contact double, ou un 

 contact du deuxième ordre avec une courbe donnée quelconque. 



» Les formules que vous avez données ( Comptes rendus, l'^'aoùt) donnent 

 immédiatement les valeurs de X, fx, v en fonction des coefficients («, /3) des 

 modules des conditions 3Z, c'est-à-dire 



X= A-f- aB-+-4C + ZjD, 

 p.= 2A -1- /jB-l- 4C + iD, 

 V = 4A + 4B+ 2C + D, 



ou j'ai posé 



A = a,a,a3, B^la.a.fi^, C = l(/.,f^,^3. D = /5,, ^j, /Sj. 

 » Soit W le symbole d'une condition double; soit, de plus, 

 .;ap.,W) = (.r,j), (ip-' •<^'-' W)e^(j, z), (ad., W) = (z, m); 

 introduisant dans ces séries, par votre méthode si simple et lumineuse, 



en 



