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 les conditions Z,, Z,, Z3, on trouve 



N(3Z, W) = .rA -+-jB + zC -t-wD. 



Posons maintenant 



^^ _(_ 7-B + cC -4- «D = a). + />p. + cv, 

 c'est-à-dire 



(i + 2/^ -H 4c = X, 



an -^ lib -h lic =J, 

 l\a -^- l\b ->r 2C ^= z, 

 [\n -^ ih -\- c = u; 



on aura entrer, j', z, îi la relation 



(1) SX — 3/- -h 3z — 2« = o. 

 et pour a, h, c les valeurs 



(2) 4« = 2H— r, 4t- = 2X — j, 



y/; = 2(2j — z) — 3(2X — ^f) = 7{iz — r) — 3fa« — z) 

 = -(j + z)- 3(.r + «)- 



» Dans chaque question il ne sera pas difficile de déterminer les nombres 

 jc, y, z, M, d'où l'on tirera a, b, c, et, par suite, 



N(3Z, W) = a), + biJ.-\-cv. 



» Premier exemple. — Que la condition double soit un contact double 

 avec une courbe donnée W d'ordre ?7i, avec d points doubles et r rebrous- 

 sements. En vertu d'une transformation très-connue, le nombre x des co- 

 niques passant par trois points fixes et ayant un contact double avec W est 

 égal au nombre des tangentes doubles d'une courbe d'ordre im, avec 



^_l LZ! i points doubles et r rebroussements. En désignant par n la 



classe de W, la classe de la nouvelle courbe sera 2 m + «, et, par suite, 



2JC =^ ld -+- 3 771 ( /?2 — 1 ) H- 7i (4 '7Ï + n — 9 ). 



» Il est très-facile de trouver le nombre des coniques infiniment aplaties, 

 dans la série (2p., W); on a évidemment 



2X — JT = 2 777 (772 — i), 



