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 d'où l'on tire 



y = id-\- m[m — \) + n[l\m + n — 9). 



» Les nombres z, u sont corrélatifs de 7 , a.-; donc 



r = 2i + ii{n — i) + m[[\n + m — t)), 

 iu =z -it ->r 'in[ti — i) H- in[l^n + m — 9), 



en désignant par t le nombre des tangentes donblesde W. 

 » La relation (1) est satisfaite, et les (2) donnent 



4rt = 2«(« — i), [\c ^ 'im[in — i), 

 %b = ^mn — {m--\-n^) — 7 (/n + 71) -+- 2{d + t) 

 = 8mn — 9(7/1 + /?) — 3(;' -t- /), 



en désignant par i le nombre des inflexions de W. Donc, enfin, le nombre 

 des coniques du système (X, pi, v) qui ont un contact double avec la courbe 

 W est 



-h(/? — i)X + 5 [%mn — 9(m + «) — 3(r + /)Jfx -I- -m(77i — i)v. 



» Il va sans dire qu'on peut réduire les quatre nombres m, n, r, i à trois 

 seulement, qu'on peut clioisir arbitrairement parmi les six suivants /7J, «, 

 d, t, 7-, /. 



)) Deuxième exemple. — Que la condition double soit un contact du second 

 ordre avec la courbe W. Le nombre x sera, dans ce cas, égal au nombre 

 des tangentes stationnaires de la courbe d'ordre im et classe 2/« -1- n, avec 

 /■ rebroussements; donc 



.r ^ 3 n -I- 7'. 



Il n'y a pas de coniques infiniment aplaties dans la série (2p., W); donc 



2X — J= O, 



et, par suite, 



j= 2(3/i + /-j. 



Corrélativement, 



z= 2 ( 3 77i -t- i), U = 3 m ■+■ i. 



La relation (i) est satisfaite, car on a identiquement 



3n -h r= 5 m + /; 



