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 et les valeurs de a, b^ c seront 



a = o, ^=^(3/n-t-0) c = o, 



et, pnr coiiséquenl, le nombre des coniques du système (X, p., v) qui ont 

 un contact du second ordre avec la courbe W est 



-(3/n 4- /■)]7. ou bien -(3rt-+-r)p.. 



» Troisième exemple. — A la condition double substituons deux con- 

 tacts simples avec deux courbes distinctes V, V d'ordre /??, m' et classes «, 

 «'. Le nombre a- sera, dans ce cas, égal au nombre des tangentes com- 

 munes à deux courbes de classes 2m H- n, 2/«'+ /i'; donc 



,r = 4 niDi' 4- 2 [m' ri ■+- nin') + un' . 



Le nombre des coniques infiniment aplaties dans la série C/^p., V, V) est 

 évidemment 



ïx — 7=: Il mm', 



d'où 



y = 4 '«/«'+ 4 ('""'-+- m' fi) + irui'; 



et, corrélativement, 



z = 4""'^- 4 ('""'+ "i'«) 4- 2 mm', 

 Il = 4/2«'+ 2(;;2«'+ ??i';i) -H ««'. 



Ces valeurs, qui satisfont à la relation (i), donnent 



a =: 7in', b = mn' -+- m'n, c = mm'. 



Ainsi le nombre des coniques du système (X, /u,, v) qui sont tangentes aux 

 deux courbes V, V est 



7î«'X ~l- {mn' -h m'n)iJ. + mm''^^ 



ce qui s'accorde avec la formule que vous, Monsieur, avez déjà donnée 

 [Comptes rendus, i" août) pour le nombre des coniques qui satisfont à cinq 

 conditions simples. 



» D'après ce qui précède, on peut calculer les caractéristiques X, fx, v 

 d'un système (Z, W) de coniques assujetties à une condition simple et à 

 une condition double. On introduira ensuite, par la même méthode, une 

 nouvelle condition double W, et on obtiendra de cette manière les carac- 

 téristiques de la série (W, W) et le nombre N (Z, W, W) des coniques qui 

 satisfont à deux conditions doubles et à une condition simple. » 



