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 aet b étant des nombres positifs impairs et premiers entre eux, se tire de la 

 comparaison des formules que j'ai données pour la détermination des 

 sonnnes 



i = a — 1 i = a — I 



. zbn ^1 ^ . 2bTZ 



COS"/ ) 



a 





d'abord dans le tome V du Journal de Malliéinnliqites [Sommation de quelques 

 séries), puis dans le tome XII du même journal Sur le symbole f | j, etc. j- 



J'en ai conclu que la règle donnée par Gauss pour la détermination de i-]-, 



dans le cas de a premier, s'étend à celui de a composé. Mais je n'ai rien 

 ajouté sur la simplification de cette règle. Je ferai même remarquer ici que 



le troisième algorithme, donné dans le Mémoire sur le symbole ( t )' celui 



qui précède les exemples, est présenté d'une manière inexacte et doit être 

 supprimé. 



» Cette première démonstration, comme on le voit, est longue et indi- 

 recte; la suivante serait plus courte, si la démonstration du théorème : « J^a 

 )) formule ax + b, où a elb sont premiers entre eux, renferme des nombres 

 » premiers » n'était pas très-compliquée. Cette démonstration, due à Di- 

 richlet, n'est pas purement arithmétique, ou fondée sur la seule considéra- 

 tion des nombres entiers, ce qui est nécessaire pour qu'une démonstration 

 soit élémentaire. 



» Ce théorème admis, voici en quelques lignes la démonstration des 

 formules 



-J=( — i)'' , si i est impair. 



= (— i) , SI 6 est pair. 



» Soit p un nombre premier et p = aa-^- b, ce que l'on peut supposer, a 

 et b étant premiers entre eux : on aura 



p b pi . bi i pi\ . l bi 



- = « + -, '— = ai-\ — 5 e — =a/-t-e — 



a a a a \ a \a 



Faisant i= i, 2, 3,..., et sommant, il vient 



y(a, /5) = «.2-g-î- + <p(a, 6). 



