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 » Lorsque les deux nombres sont à l'intervalle //, on a 



A.r" = (x + //)"— x" = tih ■xx{x + h)\ [xx + h)\.x[x + h) x[a- + h)... 

 Xlx(x+/OrA-(^+//) + a,,_.^An+K„_/r'|..+ao//'-n + «|//--°W/;"-^[ + ^''. 



» Les valeurs de a. sont les mêmes dans l'une et l'autre équation : elles 

 sont représentées par l'expression C"Za7-2i c'est-à-dire par le nombre qui 



exprime les combinaisons de n — ;■ — a nombres pris« — 2/' — i à n — ir — 2, 

 divisé par /' 4- i . 



)) La différence (x + i)"— x" est de la forme 2//^' + i, donc z", et, pai- 

 conséquent, z doivent être de la forme 'xiis + 1. Riais on a 



' [ / r 



l :;" = {:>. us -\- i)" = nx 2?is\2 7is I 2 «5 2 Tix. . ■ 



(IX) ' ^ 



\ ( L nj n) n J n } \ 



» Les équations (I) et (IX) ne peuvent jamais exprimer des nombres 

 égaux. 



1) 1" ilx" est susceptible de décompositions successives ayant pour 



module x{x-hi); z" est susceptible de ?i décompositions successives 

 ayant pour module 2«i'. 



» 2" Les deux premières décompositions de chacune des équations sont 

 irréductibles comme n'ayant pour reste que l'unité. 



» 3° Lorsque x[x-\- 1) = iiis, c'est-à-dire lorsque les modules sont 

 égaux, ces deux premières décompositions ne diffèrent que par le quotient 

 du dernier module; mais le nombre qui représente (2?/^' 4- i)" est nécessai- 

 rement plus grand que le nombre qu'exprime [x -+- \)" — x". Pour x = nh, 

 l'équation (I) devient, en s'arrêtant à la troisième décomposition, 



A.r"=(jc + i)"- x:"= [nb -+- i)" — {itbi" 



= /i X nh {nb -+- i) {nb {nb -+- i) [nb {nb + i) X P2 -H «1] + ' j + i- 



^ b (nb -{- i) ,, , . /,,r\i 



» Pour j' = — ï — ^ -, 1 équation (IX) devient 



■;" = {ins + i)" = [nb {nb + i) + i" 

 = n X nb {nb -+- i) \nb {nb + i) 



'?ib {nb + i) X Q. -+- C"_J -f- 1 1 -f- I 



'■=?] 



C. R.,iS64, a""' Sem<?i(re( T. LIX, N» 2S.) 



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