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 des groupes qui leur cories})ondeiit. D'une façon analogue, M. Lie a mon- 

 tré (Ac. des Se, Christiania, 1882) que, toutes les foisquu'n problème d'inté- 

 gration dépend d'un groupe fini et continu, le nombre, le degré et la nature 

 des équations auxiliaires sont déterminés par la structure de ce groupe. 

 Les groupes de ces équations auxiliaires sont toujours, de même que chez 

 Galois, des groupes ^/w/j/e^. 



» Les beaux travaux de MM. Picard et Vessiot ramènent la théorie des 

 équations différentielles linéaires à l'étude de la structure d'un groupe. 

 » En conséquence, toutes les recherches sur la structure des groupes 

 simples, continus ou discontinus, ont une extrême importance. 



M. Lie a donné, entre autres (^Mat. Ann., B. XXV), une détermination 

 complète de tous les groupes simples d'ordre r dont les plus grands sous- 

 groupes sont d'ordre /•— i, r — 2 ou /• — 3. Il a de plus indiqué quatre 

 grandes classes de groupes simples : le groupe projectif général à n variables, 

 le groupe d'un complexe linéaire àan-M-i variables, et enfin le groupe 

 projectif d'une surface du deuxième ordre à2/iet2« + i variables. 



» Dans une série de Notes parues dans les Mathematische Annalen, 

 B. XXXL XXXin, XXXIV, XXXVI, M. Killing a publié des recherches 

 étendues sur la structure des groupes. Il est arrivé, en particulier, au 

 résultat extrêmement important que, à part les quatre grandes classes de 

 groupes simples dont nous avons parlé plus haut, il n'y a que cinq groupes 

 simples, qui ont respectivement i[\, 52, 78, i33, 248 paramètres. 



)) Malheureusement, les considérations qui conduisent M. Killing à ces 

 résultats manquent de rigueur. Il était, par suite, désirable de refaire ces 

 recherches, d'indiquer ses théorèmes inexacts et de démontrer ses théo- 

 rèmes justes. Je me permettrai d'indiquer rapidement les résultats aux- 

 quels je suis arrivé à cet égard. 



)) Dans la partie du Mémoire de M. Killing relative aux groupes simples 

 se trouvent surtout deux lacunes importantes. En premier lieu, il ne con- 

 sidère que le cas oîi ce qu'il appelle Véquation caractéristique du groupe 

 n'admet que des racines simples; il lente, il est vrai, de s'affranchir de 

 cette restriction dans la troisième partie de son Mémoire, mais il s'appuie 

 pour cela sur un théorème qu'il ne démontre que dans un cas particulier 

 et qui, en général, est faux : à savoir que si un groupe est son propre groupe 

 dérivé, chaque transformation générale fait partie d'un sous- groupe formé 

 d'autant de transformations échangeables entre elles, que l'équation caracté- 

 ristique admet de racines identiquement nulles. En second lieu, il ramène la 

 détermination des groupes simples à la détermination de certains systèmes 



