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où /(a?) désigne une fonction entière de degré r; en posant, ponr abréger, 



V{.v) =/(.r) +f\x) +.. .+r\:v), 

 et en appliquant la relation connue 



'û(.r) — (p(o) = .r9'(S^) (<'><2^<0« 



je trouve 



(A) ¥{x) - fi^F(o) = - a;e('-")Y(-"^)- 

 Supposons maintenant qu'on ait l'équation 



(B) C„+(:,f' + C,e= + ...+ C„e" = o, 



Co, C, C„ étant des nombres entiers, Co étant positif et différent de 



zéro. En désignant par p un nombre premier plus grand que Co et que n, 

 je fais 



/(^) = (T^TÔ! ^'" ' (i -^y{^- oc)". ..{n- xy, 



et j'applique la formule (A) pour les valeurs x =^ r, 2, ..., 11. J'obtiens 

 ainsi 



F(a.)-e*F(o) = £, (/t = i , 2 n), 



les quantités e^t devenant infiniment petites lorsqu'on fait croître p, F(o), 

 F(i), . . ., F(/î) étant des entiers dont le premier n'est pas divisible par/j, 

 tandis que tous les autres contiennent p en facteur. Or on tire de l'équa- 

 tion (B) 



C„F(o) + C, F(i) + ...+ C„F(«) = o 



lorsque /9 est supérieur à une certaine limite, et cette relation implique 

 une contradiction, tous les termes étant divisibles par p, excepté le pre- 

 mier qui ne l'est pas. 



» Cette démonstration me semble remarquable en ce point, qu'elle ne 

 fait usage que des premiers principes du Calcul différentiel et qu'elle peut 

 être donnée, par conséquent, dans un cours tout à fait élémentaire. » 



c. 1;., ikJyS, I-' Semestre, i S CWI, >. 16.} Io3 



