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» Après avoir remarqué que les équations (i) et (2) admettent l'inté- 

 grale des forces vives, savoir 



(3) A/+By= + Cr= = /«+2U, 



U étant une fonction de 9, (|/ et <p seuls, et h l'arbitraire introduite par l'inté- 

 gration, nous passons à la première question. 

 » Or, en admettant 



A = B; U-/fe), 



y(0) étant une fonction de 9 seul, ne renfermant ni | ni cp, on obtient des 

 équations (i) et (2) deux nouvelles intégrales, savoir 



d^ /i , cos — X , 



r—n, 



où l'on a désigné par n et 1, les deux arbitraires, et par n^ le produit n -r 



(voir la Note de M. Tisserand). 



Maintenant, si nous supposons, pour limiter un peu l'étendue de notre 

 question, que U soit une fonction de cos9 seul, en sorte qu'il viendra un 

 résultat de la forme 



p2 -f- q- = y.„ -+- a, cos9 -t- a, cosO* -I- . . . , 



5 intr( 

 l'équation 



et que nous introduisions les expressions signalées de ^ et de p^ -f- q^ dans 



nous aurons 



sin9^('^y= - (n, cosO — >,,)= + (r - cos9^) (a» -h r, cosO -^ . . .) , 

 ou bien, si nous écrivons z au lieu de cos9, 



(5) (^^y =_(;,,:;- l,V-f-0- -^(^-0+^, s + •••)• 



» Il s'ensuit que, si le nombre des constantes a„ est fini, s sera une 

 fonction elliptique ou ultra-elliptique du temps. Mais cherchons à exprimer 

 la fonction z par une série périodique, même si les a„ constituent une série 

 infinie que je suppose convergente comme une progression géométrique. 



