( 9^4 ) 

 Il y a, c'est vrai, diverses manières d'opérer, moyennant des approxima- 

 tions successives, l'inversion de l'équation (5) : parmi elles, la méthode 

 suivante mérite, il me semble, quelque attention. 

 )) Supposons que l'équation 



O = - (r, z - 1, y + (l- =') (a„ +«, = + . . .) 



admette les deux racines consécutives et réelles :■„ et ^,, en sorte que 

 nous pouvons écrire 



(sy =^''- '»)<^-' - ^) ^•^'« -^ ^^-' "^ ^'^^' ^ ■ ■ ■^' 



où le facteur jîo + [3, z -t- . . . reste toujours positif tant que la valeur de s 

 n'excède pas les limites Sg et -,. Les conditions qu'a établies M. Weier- 

 strass dans une Note insérée en i866 dans Sitziingsberichte de l'Académie 

 de Berlin étant ainsi remplies, il est certain que l'inversion demandée est 

 possible. 



» Posons, dans l'équation précédente, 



•^1 ^n ^^^ ''» ^ ^^^ -"0 ' ^^' 



Nous obtenons ainsi un résultat de la forme 



ou bien, après avoir introduit une nouvelle variable indépendante //. 



moyennant la relation 



fit = [i.dii, 



}j. étant une constante à notre disposition, l'équalinn 



(;;d- 





» En abordant l'intégration de cette équation, moyennant des approxi- 

 mations successives, nous supposons les y, à partir de yj, égaux à zéro: 

 nous déterminons ensuite convenablement le coefficient y. et nous dési- 

 gnons par — u^ une constante arbitraire : l'intégrale de l'équation (6) 

 s'exprimera alors aisément au moyen de fonctions elliptiques dépendant 

 de l'argument u — u„ et d'un module que nous désignerons par k. Ce mo- 

 dule pourra, d'ailleiu-s, être considéré comme une constante arbitraire 



