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 plications se déroulent avec la même facilité (jiie dans la théorie classique 

 de Cauchy relative au plan simple. Mais il importe de juger à sa véritable 

 valeur la belle conception de Riemann. Ce serait une vue incomplète que 

 de la regarder seulement comme une méthode simplificative pour pré- 

 senter la théorie des fonctions algébriques. Si importante que soit la sim- 

 plification apportée dans cette étude par la considération de la surface à 

 plusieurs feuillets, ce n'est pas là ce qui fait le grand intérêt des idées 

 de Riemann. Le point essentiel de sa théorie est dans la conception a 

 priori de la surface connexe formée d'un nombre limité de feuillets plans 

 et dans le fait qu'à une telle surface conçue dans toute sa généralité cor- 

 respond une classe de courbes algébriques. Nous nous sommes donc par- 

 ticulièrement attaché à la question difficile et capitale de l'existence des 

 fonctions analytiques sur une surface de Riemann arbitrairement donnée. 



n Le problème précédent est même susceptible d'être généralisé, si 

 l'on prend une surface fermée arbitraire dans l'espace et qu'on considère 

 l'équation de Beltrami qui lui correspond. Il est possible de faire corres- 

 pondre à la surface une classe de courbes algébriques. On sait que ce ré- 

 sultat a été démontré en quelque sorte expérimentalement par M. Klein, 

 qui a insisté sur les rapports que présente la théorie des intégrales abé- 

 liennes avec l'étude du mouvement de l'électricité sur une surface fermée. 

 Nous pensons avoir traité rigoureusement ces questions en restant à un 

 point de vue purement analytique. 



)) Tout en accordant la préférence aux méthodes de Riemann, dans 

 lesquelles la théorie des fonctions et la Géométrie de situation se prêtent 

 un mutuel appui, nous n'avons pas négligé le point de vue algébrique. 

 Malheureusement, pour cette partie de la théorie, on doit regretter que 

 les leçons de M. Weierstrass sur les fonctions algébriques n'aient jamais 

 été publiées. « 



M. Mascaut présente à l'Académie le troisième Volume de son « Traité 

 d'Optique ». 



« J'ai l'honneur de faire hommage à l'Académie du troisième Volume 

 de mon Traite d'Optique. J'ai indiqué précédemment la nature des ma- 

 tières traitées dans la première Partie de ce Volume publiée il v a déjà près 

 d'un an. La seconde Partie, qui termine l'Ouvrage, renferme une étude 

 détaillée des propriétés optiques de l'air, des phénomènes produits par les 

 particules en suspension, les gouttelettes des nuages ou les gouttes de 



