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 ordre. Voici quelques résultats concernant les équations analogues du 

 second ordre. Soit 



(1) a:" = F(x,x',t) 



une équation du second ordre. Nous supposons que son intégrale géné- 

 rale s'exprime, en fonction d'intégrales particulières a?,, x.^, ..., a7„ par 

 une formule, connue ou inconnue, mais dont la forme ne dépende pas 

 de ces intégrales particulières, 



(2) x=/(x,,x\, ...,x,„x'„\a,b). 



On en déduit, pour x', en tenant compte de (i), une formule analogue 



(3) ^' = g{-r, ,x\ .r„, .r',, | a, h). 



» Nous nous bornerons, dans cette Note, au cas où i ne figure explicite- 

 ment dans aucune des formules (2) et (3). C'est ce qui a lieu évidemment 

 pour une équation linéaire sans second membre, ou avec second membre; 

 et aussi pour une équation de la forme 



(4) ce" + 3xx' -+- .r' + 3l{x' 4- .'-•-) 4- 3,a.r + v = o, 



c'est-à-dire ayant pour intégrales les dérivées logarithmiques des intégrales 

 d'une équation linéaire homogène du troisième ordre. Nous allons mon- 

 trer que toulc équation de la classe considérée se ramène à Vune de ces trois 

 formes, ou s'abaisse au premier ordre, par une transformation de la forme 



(5) X = '^(x,x'). 



» Nous partons du même principe que dans le travail rappelé. On peut 

 supposer les constantes d'intégration a, h tellement choisies que les équa- 

 tions 



j a' =/(j7,,a-',, ... |fl, b), 

 I b' = g{x,,x' \a,b), 



(6) 



définissent un groupe. Supposons d'abord (jue ce groupe laisse invariante 

 au moins une famille de courbes à un paramètre 



ip(a, b) = const. 



» Cela prouve qu'on a, comme conséquence des équations (6), une 

 identité 



û(a', b') = /J9 {a, b), x,, x\ ,...], 



