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 c'esl-à-dire que, pour loiile intégrale de (i), on a 



c étant une constante. Si donc on change de fonction inconnue, par la 

 formule (5), on obtiendra en X une équation de premier ordre. De plus, 

 l'équation 



définissant elle-même un groupe, on peut supposer cp choisie de telle sorte 

 que / soit linéaire en c, ou soit une fraction du premier degré, c'est-à-dire 

 que la transformée en X sera une équation linéaire ou une équation 

 de Riccati. Quant au calcul de la transformation (5), il exigera, dans le 

 cas le plus défavorable, des quadratures ou l'intégration d'une équation 

 de Riccati. 



» Si le groupe (6) ne laisse invariante aucune famille de courbes à un 

 paramètre, il est semblable à un groupe projectif à 5, 6 ou 8 paramètres. 

 Dans les deux premiers cas, on peut donc déterminer ç et i de telle sorte 

 que, si l'on pose 



les équations (2) et (3) prennent la forme 



X = La + Mp + N, Y=;Px + Qp + R. 



Si donc on fait dans (i), par exemple, la transformation (5), la trans- 

 formée sera une équation linéaire du second ordre. Dans le troisième cas, 

 on voit de même qu'on arrive à une transformée, dont l'intégrale géné- 

 rale est de la forme 



«A {t)-h h\i (0 + G (0 



X 



aX^(t) -{-l>K^{t.) +C|(0 



Elle appartient donc à la classe plus générale des équations dont l'inté- 

 grale générale est 



V(X,t) -haQ{\,l) + b = o. 



)» M. Lie a montré cju'une telle équation s'intègre par des quadratures 

 et par l'intégration d'une équation linéaire homogène du troisième ordre. 

 Cette dernière se ramenant immédiatement à la forme (4), notre théorème 

 est établi. La réduction de la transformée à la forme (4) peut d'ailleurs se 

 faire d'une manière directe et plus simple. » 



c. R. , 1893, I" Semestre. ( T. CXVI, N» 18.) 125 



