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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la Structure des groupes finis et continus. 

 Noie de M. Cartan, présentée par M. Picard. 



« J'ai exposé, dans une précédente Note, les résultats remarquables 

 auxquels est arrivé M. Killing, relativement à la structure des groupes 

 simples, en indiquant les principaux points de son travail qui me paraissent 

 insuffisants. Je m'occuperai, dans cette Note, de la structure des groupes 

 en général. 



)) M. Lie a depuis longtemps (Archiv for Math, og Nat., B. III. ) partagé 

 les groupes en deux grandes classes : les groupes intégrables et les groupes 

 non intégrables. On dit qu'un groupe d'ordre r est intégrable lorsqu'il 

 admet un sous-groupe invariant d'ordre ^—1, celui-ci un sous-groupe 

 invariant d'ordre r — 2, et ainsi de suite. Les groupes intégrables sont 

 encore caractérisés par ce fait que, si l'on prend leurs groupes dérivés suc- 

 cessifs, on finit par arriver à la transformation identique. Cette classiûca- 

 tion des groupes joue un grand rôle, non seulement au point de vue spécial 

 de la structure, mais encore au point de vue de l'intégration des équations 

 différentielles. 



M. Killing introduit une autre classification des groupes qui, au fond, en 

 la modifiant un peu, concorde avec la précédente. Il appelle rang d'un 

 groupe le nombre des coefficients indépendants de V équation caractéristique de 

 ce groupe. En réalité, ce n'est pas le rang d'un groupe qui est intéressant, 

 mais le rang de son groupe dérivé; en effet, le rang peut s'abaisser en pas- 

 sant au groupe dérivé, mais, pour tous les groupes dérivés successifs, il est le 

 même. Or, comme cela a été démontré par M. Engel (^voir Uml.vuf, thèse, 

 Leipzig), les groupes de rang zéro sont intégrables et, réciproquement, les 

 groupes intégrables ont pour groupes dérivés des groupes de rang zéro. 

 Nous retombons ainsi sur la classification de M. Lie. 



» M. Killing ne donne que des indications incomplètes sur les groupes 

 de rang zéro. Pour étudier le cas général, il donne au groupe une certaine 

 forme réduite très remarquable basée sur la nature des racines de l'é- 

 quation caractéristique. Il fait correspondre à une transformation géné- 

 rale du groupe G un sous-groupe y de rang zéro, et dont l'ordre est égal 

 au nombre des racines identiquement nulles de l'équation caractéris- 

 tique. Si l'on suppose que X,/, ..., X,„/sontles transformations de ce sous- 

 groupe, et si, dans l'équation caractéristique on annule «,„+,, ..., e^, le pre- 



