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 mier membre de cette équation se décompose en un produit de facteurs 

 linéaires en (?,, e^. ■••■>^m- A chacun de ces facteurs linéaires ou racines, 

 M. Rilling fait correspondre autant de transformations qu'il y a d'unités 

 dans son degré de multiplicité, de sorte qu'on obtient le nombre de trans- 

 formations indépendantes nécessaire pour définir le groupe. 



» M. Killing étudie d'abord le cas où le groupe est parfait (') et où 

 toutes les racines de son équation caractéristique sont simples. Il arrive 

 ainsi à trois sortes de groupes : 



» i" Les groupes simples, dont j'ai déjà parlé; 



)) 2° Les groupes qu'il appelle semi-simples (halbeinfach) et qui sont 

 formés de sous-groupes invariants simples échangeables entre eux; 



M 3° Des groupes formés d'un sous-groupe simple ou semi-simple et 

 d'un sous-groupe invariant à transformations toutes échangeables entre 

 elles. 



» L'étude du cas général des groupes parfaits est fondée sur un théo- 

 rème que j'ai déjà indiqué dans ma précédente Note et qui est le sui- 

 A-ant : 



» Si un groupe est parfait, le sous-groupe y, relatif à une transformation 

 générale quelconque, a ses transformations toutes échangeables entre elles. 



M Malheureusement ce théorème n'est vrai que dans des cas particu- 

 liers. Néanmoins, le résultat général auquel M. Rilling arrive est juste : 

 Tout groupe non inlègrahle est formé d'un sous-groupe simple ou semi-simple 

 et d'un sous-groupe invariant intégrable. 



)) On se rend bien facilement compte que ce théorème revient aux deux 

 suivants : 



» Tout groupe qui n admet pas de sous-groupe invariant intégrable est 

 simple ou semi-simple. 



» Si l'on considère le plus grand sous- groupe invariant intégrable g d'un 

 groupe G, il existe un sous-groupe g' qui, avec g, complète G. 



» Je suis parvenu à démontrer directement le premier théorème en 

 m'appuyant sur une propriété remarquable que j'ai trouvée au coefficient 

 •^^{e) de to'"^ dans l'équation caractéristique, coefficient qui est une forme 

 quadratique de e,, e^, ...,e,.. Cette propriété est la suivante : 



» La condition nécessaire et suffisante pour qu un groupe soit intégrable est 

 que toutes les transformations de son groupe dérivé annulent ^^(e). 



» La considération de ce coefficient ^^s/i^e) me donne en même temps, 



(') M. Lie appelle groupe par/aji un groupe qui est son propre groupe dérivé. 



