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» Nous nous proposons d'éludier les différents cas où l'on peut exprimer 

 le système général de solutions a?,, . . . , a?„ par m systèmes particuliers de 

 solutions 



/,\ „in (il un un) 



et n constantes arbitraires a par des formules connues ou inconnues 



(2) ^, = A(.r;",... ,<',...,<"',... ,^-;:"',« ««) (' = 1.2 n), 



qui subsistent lorsqu'on y remplace les solutions (i) par mn autres solutions 

 particulières quelconques. 



» Nous démontrerons d'une manière absolument analogue à celle em- 

 ployée par M. Vessiot que l'on peut supposer dans les formules (a) les 

 constantes d'intégration «,,...,«„ tellement choisies que les équations 



(3) av=/(^-,", ...,*•„", •..,<"', ...,.<",«, (in) (?■=!, 2, ...,«) 



définissent un groupe aux mn paramètres a;',", . . ., a?^,", . . ., x''"\ . . ., .r^"" 

 entre les variables indépendantes a et les variables dépendantes x. 

 » l'osons, en effet, 



h, = f,{^^', ..., x::% ..., .<"», . . ., <"«, a,;..., a„) (i=i,2 n). 



X 



( ' 



., x^]l", . .., x""'", ...,.r'™'" étant des constantes; les équations (3) 

 prendront la forme 



x,= g^(x':', ...,>;;',..., <", , . ., x',:", . . ., i,, . . . , b„) (i = i,2,...,n) 



qui définissent, d'après M. Lie, un groupe de transformations des a? en b 

 aux mn paramètres x\*', . . ., a;„", . . ., x'"", . . ., a?Jf". Ce groupe est m fois 

 transitif; on en conclut, d'après un théorème fondamental de M. Lie, que 

 m ne peut pas surpasser (« -\- a.); les valeurs de m sont donc i, 2, ...,(« + 2). 

 Dans le cas m ^^ n -\- 2, le groupe est semblable au groupe projectif gé- 

 néral. 



M Dans le cas n =: 2, j'ai examiné les ditfçrents groupes correspondant 

 à des valeurs de m et j'ai trouvé onze types différents. » 



