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MÉCANIQUE. — Sur la réduction du problème des tautochrones à l'intégration 

 d\ine équation aux dérivées partielles du premier ordre et du second degré. 

 Note de M. G. Kœxigs. 



« I. Soit donnée une famille de surfaces U(;r, y, z), je me propose en 

 premier lieu de chercher les surfaces S sur lesquelles ces surfaces données 

 découpent une famille de courbes parallèles. 



» Je représente par ds- le carré de l'élément d'arc de la surface cher- 

 chée, par H ^f{\]) une fonction arbitraire de U. Il suffit, conformément 

 à un théorème de Gauss, d'exprimer que la différence 



ds- — d\\- = dx- + dy- (p dx -i- (j dyy 



0. 



>! L'équation différentielle des surfaces cherchées est donc 



(2) 'I' = o. 



» On voit en même temps que leur ds^ a la forme 



(3) ds- = f/H- + ^ ( A ^.r + B dy)-, 



en sorte que les géodésiques auxquelles sont orthogonales les courbes pa- 

 rallèles H = const. ont pour équation 



(4) kdx + 'èdy = o. 



