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 » Maintenant, d'après l'identité (i) elle-même, si l'on envisage autour 

 du point a;, y, - le cône T suivant les génératrices duquel s'effectuent les 

 déplacements qui vérifient l'équation 



( 3 ) dx- + <fy- + f/-- - (^^ dx ^ — ,/y + _ d: 



l'équation (2) exprime évidemment que, en chacun de ses points, la sur- 

 face intégrale S touche le cône T, et la génératrice de contact est précisé- 

 ment celle suivant laquelle s'effectue le déplacement défini par l'équa- 

 tion (4); or cette génératrice de contact est justement la tangente à la 

 caractéristique. Concluons donc que les géodcsiques représentées par l'équa- 

 tion (4) sont les caractéristiques de Véqualion (2). 



» A la page 189 du tome V tles Mathematische Annalen, M. Lie a énoncé 

 ce fait que les équations de la forme (2) possèdent, à l'exclusion de toute 

 autre, la propriété d'admettre des caractéristiques géodésiques. On voit 

 ici l'origine géométrique de ces équations; je vais montrer qu'elles four- 

 nissent la solution générale du problème des tautochrones. 



» II. D'après une théorie générale due à Monge, toute intégrale de 

 l'équation (5) s'obtiendra en prenant, sur une surface intégrale de (2), la 

 courbe enveloppe E des caractéristiques. 



» Or ces courbes E sont des courbes tautochrones, pour la force émanant du 



potentiel 



V =a— pH-, 



où a, [i sont deux constantes quelconques, dont la dernière est positive. 



» L'équation (5) donne, en effet, en comptant les arcs à partir du 

 point k oîi la courbe E coupe la surface H ^ o, 



(6) * = H, 



d'où 



et, en difFérentiant, 



( \ _ ^ _ d\_ _ d\_ cU ^ i}\_ d£ dy_ ch 



^'^ '' ds dx ds ' dy ds dz ds' 



ce qui est la condition connue du tautochronisme , d'après laquelle la 

 force tangentielle est proportionnelle à l'arc et dirigée en sens inverse de 

 l'arc croissant. 



