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de. cette SUT face , et aux m points à r infini sur chacun des feuillets. Dans le 

 voisinage du point O,, on suppose que l'on ait 



« = P, logr,— t- (^,- (iz=i,Q. n), 



(3,- étant une constante, /•, désignant la distance du point (ce, y) au point O,. et 

 la fonction c, étant continue en O,-. 



» Pour le point à l' infini sur le feuillet de rang h, imaginons que l'on fasse 

 une inversion qui le ramène à distance finie ; on suppose alors que l'on ait sur 

 le feuillet considéré, dans le voisinage du point transformé, 



M= a*.logr^.+ Va {k^i,i m) 



a^ désignant une constante, et Y/, étant continue. 



» Les constantes a.et ^ sont données; on suppose seulement vérifiées les iné- 

 galités 



«, + «2 + . . . + a.„, + p, -f P2 -f- . . . n'- P„ < O. 



M La méthode que j'ai suivie pour la démonstration de ce théorème dé- 

 montre l'existence d'une solution; il est intéressant de la compléter en 

 montrant que cette solution est unique : c'est ce que je me propose d'indi- 

 quer ici. 



M Supposons, à cet effet, qu'il existe deux solutions u et v satisfaisant 

 aux conditions énoncées. Je dis d'abord que l'on ne peut avoir sur toute la 

 surface de Riemann 1 



à moins, bien entendu, que u ne soit identique à c. Isolons sur la surface 

 les points O et les points à l'infini, par des petits cercles d'une part et des 

 cercles de très grands rayons d'autre part; on aura, pour l'aire connexe li- 

 mitée par ces circonférences, 



ce i^hdxdy ^ f fke'Çe'' - i)dxdY (h = u - v). 



ou encore 



f2ds=ff/ce"{v^-e")dcody. 



l'intégrale du premier membre étant relative aux circonférences. Or, pre- 

 nons la petite circonférence de centre O et de rayon p; il est facile de re- 



