( io37 ) 



M Dans le cas général, les plans des lignes de courbure de ce système 

 enveloppent un cône. J'ai réussi, en suivant la voie tracée par l'éminent 

 géomètre, à traiter le cas particulier où les plans de ces lignes de courbure 

 enveloppent un cylindre, et à dégager du résultat : 



» 1° Les équations des surfaces isothermiques à lignes de courbure 

 planes dans les deux systèmes; 



« 2° Les équations des surfaces à courbure moyenne constante et à 

 lignes de courbure planes dans un système. 



» Le ds- des surfaces isothermiques, pour lesquelles les lignes de cour- 

 bure d'un système enveloppent un cylindre, peut s'écrire 



» Soient v = const. les lignes de courbure planes, que nous dirons être 

 du premier système. Si l'on remplace la variable v par une autre p, telle 

 quedv = di', y/i + y^, V étant une fonction arbitraire de t',, il résulte du 

 Mémoire de M. Darboux que h doit satisfaire aux deux équations à déri- 

 vées partielles 



dh 

 du 



= Ue*+ U,e-^, 



du'' 



dVi 



où U et U, sont deux fonctions de u dont le produit a pour valeur 



(i) UU,= 



et que l'on trouve égales à 



(2) U 



snu, 



2 



sn M, 



U, 



sn«. 



» Cela posé, le calcul conduit aux équations suivantes pour les surfaces 

 cherchées 



(3) 



P / sn" — ( cosX -h V sinX) dv, , 



k'^ / sn* — (sinX — VcosX)rfr,, 



