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 V restant fonction arbitraire de i>,, et X étant défini par l'équation 



sn ic, 



» On déduit de ces équations que les lignes de courbure c , = const. 

 sont dans des plans parallèles à OZ et que leur forme ne dépend pas deV; 

 d'autre part, V étant quelconque, les plans de ces lignes de courbure 

 enveloppent un cylindre quelconque. 



» Les surfaces isothermiques à lignes de courbure planes dans les 

 deux systèmes sont nécessairement comprises parmi les surfaces (3). Les 

 fonctions V et X, qui correspondent à ces surfaces, sont définies par les 

 deux relations 



(4) 



A et B étant deux constantes réelles pour une surface réelle. 



» Revenant au cas général, si l'on suppose Â = o, le produit UL), de- 

 vant être nul d'après la relation (i), on doit supposer soit U, = o, soit 

 U = o. 



» L'hypothèse U, = o conduit aux équations 



_^ . . sin2aû'i 



X = «/ cosT^ 



(5) \ ^ =^ ajsin>. 



Z = a 



C0S2««l'i — C0S2a« 



sin2ajV, 

 cos 2 aà'i — cos 2 au 



sin2au 

 cos2a«Vi — cos2aa' 



où X doit être regardé comme une fonction quelconque de Vf . 



» Les lignes de courbure i^, = const. sont alors des cercles situés dans 

 des plans passant par QZ. Les lignes de courbure m = const. doivent donc 

 être sphériques, ce qui se vérifie en effet. 



» Celles de ces surfaces pour lesquelles les lignes de courbure u = const. 

 sont planes sont les cyclides de Dupin. 



