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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la transcendance du nombre e. Note 

 de M. GoRDAN. (Extrait d'une Lettre adressée à M, Hermite.) 



« Permettez que je vous donne une démonstration de la transcendance 

 du nombre e, dans laquelle je me sers seulement de la série qui repré- 

 sente ce nombre. Si vous le désirez, je puis vous envoyer également une 

 démonstration de la même proposition par rapport au nombres; mais je 

 ne crois pas en avoir besoin, parce qu'elle ne diffère pas beaucoup de celle 

 que j'ai l'honneur de vous exposer. 



» Je veux montrer qu'il n'existe aucune équation 



(i) Co-l-C,e4-C.e=^...+ C„e" = o, 



dans laquelle les coefficients C sont des nombres entiers. 

 » D'abord j'étudie les propriétés de la fonction 



?(-^)= (,rli)! (' — ^'- — ^' •••• "-'■ry, 



dont M. Hurwitz s'est servi. 



» /> y est un nombre premier, qui est plus grand que C^ et n. 

 » Si l'on fait symboliquement 



les quantités 



çp(A), 9(A + 0, o(h-\-2.) ^(h-\-n) 



y sont des nombres entiers; cp(A) n'est pas divisible par/?; cp(/i -f- i), . . ., 

 (j)(A + n) le sont. 



» Si x^n etp croît au-dessus de toute limite, (p(cc) décroît et devient 

 moindre qu'aucun nombre donné s. 



» De même toute fonction '\i(oc), dont les coefficients sont plus petits 

 que les coefficients de la fonction <p(r), devient moindre que s. 



» La fonction e' est définie par la série 



e^ = I + rr H --+--- -^ ... . 



2 ! 3 ! 



