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travaux de M. Lie sur les groupes continus ont permis à M. Picard dans 

 un important travail (') d'étendre cette théorie aux équations différen- 

 tielles linéaires et enfui M. V'^essiot dans sa remarquable thèse (^) a rendu 

 classique cette extension. 



» Il me semble néanmoins que l'on n'a pas mis en évidence, autant 

 qu'on aurait pu le faire, l'idée fondamentale qui a dû diriger ces re- 

 cherches et la généralité des applications possibles de cette idée. C'est 

 pourquoi je me permets de présenter quelques remarques à ce sujet. 



» La différence entre les manières de voir d'Abel et de Galois relatives 

 aux équations algébriques consiste, comme l'on sait, surtout dans ce fait 

 qu'Abel porte son attention sur l'équation elle-même tandis que Galois 

 considère uniquement le système qui défmit les fonctions symétriques élé- 

 mentaires des racines. On voit alors qu'on a réalisé un progrès dans la 

 résolution dès qu'on connaît une fonction non symétrique quelconque 

 des racines et seulement dans ce cas. Galois définit exactement ce progrès 

 par la considération du groupe de l'équation. 



» Il est aisé de voir que c'est également la substitution d'un système 

 d'équations diiïérentielles à une équation différentielle linéaire qui con- 

 stitue le point essentiel des recherches de MM. Picard et Vessiot. 



» Soit, d'une manière générale, un système d'équations, d'équations 

 différentielles ou d'équations aux dérivées partielles définissant p fonc- 

 tions s,, ^21 • ••> "/j de n variables a?, , ar^, . . ., ar„ et supposons que la so- 

 lution générale de ce système (^z■^, . . ., Zp^ s'exprime d'une manière dé- 

 terminée, toujours la même, à l'aide d'un nombre fini, r, de solutions 

 particulières quelconques (z,, . . ., Zp)^, . . ., (s,, . . ., Zp),. des variables a;,, 

 x.^, . . ., a-„ et d'un nombre fini k de constantes arbitraires c^, ..., c^onàe 



fonctions arbitraires cp , ©^ d'arguments déterminés; je dirai que la 



multiplicité ou le faisceau de multiplicités ainsi défini dépend d'un nombre 

 limite, r, d' éléments fondamentaux . 



» Il est clair que le vcioi quelconques, employé plus haut, signifie uni- 

 quement que les diverses solutions particulières employées ne sont liées 

 par aucune relation d'égalité, quoique elles puissent l'être par des iné- 

 galités. 



» Si l'on veut édifier une théorie complète de la détermination de 

 (z, , . . . , Zp), il est nécessaire de substituer à la recherche de la solution gé- 



(') Annales de La Faculté des Sciences de Toulouse ; 1887, 

 (') Annales de i Eco te Normale; i^Q2. 



